Determine
, isto é, a transformada inversa de Laplace de cada função racional dada abaixo:
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para encontrarmos a transformada inversa de Laplace de
O conteúdo aqui é “Transformada de Laplace” e, pra inverter, a gente vai usar “Decomposição em Frações Parciais” + tabelinha básica de transformadas inversas.
Passo 2
Primeiro, a teoria das frações parciais: quando você tem uma função racional como
e o denominador fatorado, dá pra escrever
Isso facilita porque cada pedacinho tem um inverso de Laplace conhecido.
Passo 3
Vamos então supor
Multiplicando ambos os lados por
, vem
Agora a gente expande e compara coeficientes:
-
. -
.
Somando dá
Compare com
:
- Coef. de
: . - Coef. de
: . - Coef. constante:
.
Passo 4
Resolve o sistema:
-
. - Da 3ª equação:
. - Na equação
: Então e .
Logo
Passo 5
Agora a gente usa a tabelinha de inversas:
-
. -
. -
.
Aplicando em cada termo: