Determine f(t), isto é, a transformada inversa de Laplace de cada função racional dada abaixo:
F(s)=2 s(s^2+4)(s+5)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para encontrarmos a transformada inversa de Laplace de
F(s)=2s(s^2+4)(s+5)
O conteúdo aqui é “Transformada de Laplace” e, pra inverter, a gente vai usar “Decomposição em Frações Parciais” + tabelinha básica de transformadas inversas.

Passo 2

Primeiro, a teoria das frações parciais: quando você tem uma função racional como F(s)=As+Bs^2+4 ;+;Cs+5 e o denominador fatorado, dá pra escrever
Isso facilita porque cada pedacinho tem um inverso de Laplace conhecido.

Passo 3

Vamos então supor
2s(s^2+4)(s+5) = As+Bs^2+4 + Cs+5
Multiplicando ambos os lados por 2s = (As+B)(s+5) + C,(s^2+4) , vem
2s = (A+C)s^2 + (5A+B)s + (5B+4C)
Agora a gente expande e compara coeficientes:
  1. .
  2. .
    Somando dá
Compare com :
  • Coef. de : .
  • Coef. de : .
  • Coef. constante: .

Passo 4

Resolve o sistema:
  1. 5A + 45A =2 ;Longrightarrow; 25A+4A5=2 ;Longrightarrow; 29A5=2 ;Longrightarrow; A=1029 .
  2. Da 3ª equação: F(s) =1029s + 829s^2+4 -10/29s+5 =10/29,ss^2+4+8/29s^2+4 -10/29s+5 .
  3. Na equação : Então e .
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Passo 5

Agora a gente usa a tabelinha de inversas:
  • L^-1l(tfrac10/29,ss^2+4r) &= tfrac1029cos(2t), L^-1l(tfrac8/29s^2+4r) &= tfrac829,sin(2t)2 = tfrac429sin(2t), L^-1l(-tfrac10/29s+5r) &= -tfrac1029e^-5t .
  • .
  • .
Aplicando em cada termo:

Resposta

f(t) = 1029cos(2t);+;429sin(2t);-;1029e^-5t

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