Determine f(t), isto é, a transformada inversa de Laplace de cada função racional dada abaixo:
F(s)=2 s+4s^2+4 s+13

Passo 1

Beleza, então o que o exercício pede é: “Dada a função
F(s)=2s+4s^2+4s+13,
encontre , que é a transformada inversa de Laplace de .
O conteúdo aqui é Transformada de Laplace (e sua inversa). Vamos precisar:
1. Completar o quadrado no denominador para identificar um dos padrões de tabela de transformadas.
2. Reconhecer na tabela as formas de e .
3. Reescrever o numerador para se ajustar a esses padrões.

Passo 2

O primeiro passo prático é completar o quadrado no denominador:
s^2 + 4s + 13 = (s^2 + 4s + 4) + 9 = (s + 2)^2 + 3^2
Ou seja,
F(s) ;=;2s+4(s+2)^2 + 3^2

Passo 3

Agora, vemos que na tabela de transformadas:
Le^-atcos(bt) = s+a(s+a)^2 + b^2, Le^-atsin(bt) = b(s+a)^2 + b^2
Nosso denominador tem e . Falta só ajustar o numerador.

Passo 4

Olha o numerador: F(s) = 2 ,s + 2(s + 2)^2 + 3^2 . Então dá pra puxar esse “2” pra fora e ficar:
2;Le^-2tcos(3t)
Comparando com o padrão , vemos que isso é exatamente

Resposta

Logo, a transformada inversa de Laplace é
fbox(f(t) = 2,e^-2t,cos(3t))

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