Um automóvel cuja massa é
(tonelada) sobe uma avenida com
de inclinação. Determine a força que o motor deve exercer para que o carro se mova:
(a) Com movimento uniforme;
(b) Com aceleração de
.
Determine também, para cada caso, a força que a pista exerce no automóvel (o atrito). Você acha que esta inclinação de
da avenida corresponde a uma situação real? Justifique sua resposta.
(a) Com movimento uniforme;
(b) Com aceleração de
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede coisas bem específicas.
- Dados fornecidos:
Há dois cenários pedidos: (a) movimento uniforme (ou seja, aceleração ); (b) movimento com aceleração para cima ao longo da avenida. - O que nos pedem:
- Determinar a força que o motor deve exercer para que o carro suba a avenida em cada caso.
- Determinar, para cada caso, a força que a pista exerce sobre o automóvel — o atrito (ou seja, a força de contato paralela à superfície).
- Dizer se uma avenida com inclinação de
é uma situação realista e justificar.
Observação: não foi dada nenhuma resistência do ar nem coeficiente de atrito; vamos usar o modelo idealizado usual: forças externas relevantes são o peso
, a reação normal da pista
e a força de atrito estático da pista sobre o carro
que é a força que efetivamente impulsiona o carro para cima (essa força é produzida pelo motor através das rodas). Vou resolver a partir das leis de Newton e da decomposição do peso.
Passo 2
Entendendo e desenhando as forças (aulas rápidas e didáticas).
- Peso: a força gravitacional é
dirigida para baixo. Em módulo é . - Decomposição do peso em plano inclinado: é muito útil decompor
em duas componentes: uma perpendicular ao plano e outra paralela ao plano. Geometricamente, para ângulo :
Intuição:
determina a “fração” do peso que puxa para baixo ao longo da rampa; para
,
.
- Forças do contato com a pista:
- Normal
aponta perpendicular para fora da pista e equilibra a componente perpendicular do peso (se não há aceleração nessa direção). - Atrito
(no caso de carro com tração positiva subindo) atua paralelamente à superfície; é a força que a pista exerce sobre o carro que permite o avanço para cima. No nosso modelo sem outras resistências, essa força é a que resulta da ação do motor (via rodas).
- Normal
Passo 3
Aplicando a Segunda Lei de Newton ao longo do eixo paralelo à rampa (sinalização e equações).
- Escolhemos eixos: eixo x ao longo do plano, positivo para cima da rampa; eixo y perpendicular ao plano.
- Soma das forças ao longo de x:
em que é a força paralela para cima que a pista exerce sobre o carro (atrito estático resultante da ação do motor). Aqui estou tomando como a força útil que impulsiona o carro para cima; essa é a força que o motor “deve provocar” através das rodas. - Portanto, isolando
: Essa fórmula vale para qualquer aceleração ao longo do plano (positivo para cima). Note o significado de cada termo: -
é a parte necessária para produzir a aceleração desejada; -
é a força necessária apenas para vencer a componente do peso que puxa para baixo.
-
Passo 4
Cálculo numérico de
e de
para os casos pedidos.
- Primeiro calculemos a componente do peso paralela à rampa:
Usando , Intuição: só para manter o carro sem acelerar na rampa o motor (via atrito) já precisa fornecer contra a gravidade. - Agora o termo de aceleração:
- Para (a) movimento uniforme:
. - Para (b)
- Para (a) movimento uniforme:
Passo 5
Força paralela (atrito/tração) que a pista exerce — cálculo final para cada caso.
- Usando
: - Caso (a),
: - Caso (b),
:
- Caso (a),
Explicação física curta: esse
é a força que a pista (por atrito estático) exerce sobre o carro para empurrá‑lo para cima; o motor deve gerar torque suficiente para que a interação roda–pista produza esses valores de
.
Passo 6
Força normal (complemento didático) — por que olhar para isto faz sentido.
- No eixo perpendicular ao plano, como não há aceleração:
- Calculemos numericamente:
Como , - Observação didática: o valor de
é o mesmo em (a) e (b), porque a aceleração é ao longo do plano (não altera a componente perpendicular do peso neste modelo).
Passo 7
Comentário sobre realismo da inclinação
.
- A inclinação em percentagem (declive) é dada por
. Para , ou seja, cerca de de inclinação (multiplicar por para obter percentagem). - Em estradas reais, rampas muito íngremes costumam ficar na faixa de poucas dezenas de percentuais no máximo; ruas urbanas normais raramente passam de
a . Uma inclinação de é extremamente íngreme — mais parecida com caminhos de montanha muito íngremes, calcários ou escadas longas do que com uma avenida urbana. Portanto, considero que uma avenida com inclinação de não é realista para vias normais; é uma inclinação muito grande para carros circularem em cidade sem dificuldades ou riscos adicionais.
Resposta
(a) Força que o motor deve exercer (força de tração / atrito):
Força que a pista exerce sobre o automóvel (atrito):
Força que a pista exerce sobre o automóvel (atrito):
(b) Força que o motor deve exercer (força de tração / atrito):
Força que a pista exerce sobre o automóvel (atrito):
Força que a pista exerce sobre o automóvel (atrito):
Força normal (para referência):
Comentário sobre realismo: Uma inclinação de
corresponde a cerca de
de subida, o que é muito íngreme e não é realista para uma avenida urbana comum.