Um automóvel cuja massa é 1 t (tonelada) sobe uma avenida com 30^{\circ} de inclinação. Determine a força que o motor deve exercer para que o carro se mova:
(a) Com movimento uniforme;
(b) Com aceleração de 0,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
Determine também, para cada caso, a força que a pista exerce no automóvel (o atrito). Você acha que esta inclinação de 30^{\circ} da avenida corresponde a uma situação real? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede coisas bem específicas.
  • Dados fornecidos: m = 1\\ \text{t} = 1000\\ \mathrm{kg},\qquad \theta = 30^\circ,\qquad g = 9,8\\ \mathrm{m/s^2}.Há dois cenários pedidos: (a) movimento uniforme (ou seja, aceleração a=0); (b) movimento com aceleração a=0,2\\ \mathrm{m/s^2} para cima ao longo da avenida.
  • O que nos pedem:
    1. Determinar a força que o motor deve exercer para que o carro suba a avenida em cada caso.
    2. Determinar, para cada caso, a força que a pista exerce sobre o automóvel — o atrito (ou seja, a força de contato paralela à superfície).
    3. Dizer se uma avenida com inclinação de 30^\circ é uma situação realista e justificar.
Observação: não foi dada nenhuma resistência do ar nem coeficiente de atrito; vamos usar o modelo idealizado usual: forças externas relevantes são o peso (mg), a reação normal da pista (N) e a força de atrito estático da pista sobre o carro (f) que é a força que efetivamente impulsiona o carro para cima (essa força é produzida pelo motor através das rodas). Vou resolver a partir das leis de Newton e da decomposição do peso.

Passo 2

Entendendo e desenhando as forças (aulas rápidas e didáticas).
  • Peso: a força gravitacional é \vec{P}=m\vec{g} dirigida para baixo. Em módulo é \,mg\,.
  • Decomposição do peso em plano inclinado: é muito útil decompor \vec{P} em duas componentes: uma perpendicular ao plano e outra paralela ao plano. Geometricamente, para ângulo \theta: \text{componente paralela ao plano} = mg\sin\theta,
\text{componente perpendicular ao plano} = mg\cos\theta.
Intuição: \sin\theta determina a “fração” do peso que puxa para baixo ao longo da rampa; para \theta=30^\circ, \sin30^\circ=\tfrac{1}{2}.
  • Forças do contato com a pista:
    • Normal N aponta perpendicular para fora da pista e equilibra a componente perpendicular do peso (se não há aceleração nessa direção).
    • Atrito f (no caso de carro com tração positiva subindo) atua paralelamente à superfície; é a força que a pista exerce sobre o carro que permite o avanço para cima. No nosso modelo sem outras resistências, essa força f é a que resulta da ação do motor (via rodas).

Passo 3

Aplicando a Segunda Lei de Newton ao longo do eixo paralelo à rampa (sinalização e equações).
  • Escolhemos eixos: eixo x ao longo do plano, positivo para cima da rampa; eixo y perpendicular ao plano.
  • Soma das forças ao longo de x: \sum F_x = f - mg\sin\theta = m a,em que f é a força paralela para cima que a pista exerce sobre o carro (atrito estático resultante da ação do motor). Aqui estou tomando f como a força útil que impulsiona o carro para cima; essa é a força que o motor “deve provocar” através das rodas.
  • Portanto, isolando f: f = m a + mg\sin\theta.Essa fórmula vale para qualquer aceleração a ao longo do plano (positivo para cima). Note o significado de cada termo:
    • m a é a parte necessária para produzir a aceleração desejada;
    • mg\sin\theta é a força necessária apenas para vencer a componente do peso que puxa para baixo.

Passo 4

Cálculo numérico de \,mg\sin\theta e de m a para os casos pedidos.
  • Primeiro calculemos a componente do peso paralela à rampa: mg\sin\theta = 1000\cdot 9,8\cdot \sin 30^\circ.Usando \sin 30^\circ = \tfrac{1}{2}, mg\sin\theta = 1000\cdot 9,8\cdot \tfrac{1}{2} = 1000\cdot 4,9 = 4900\\ \mathrm{N}.Intuição: só para manter o carro sem acelerar na rampa o motor (via atrito) já precisa fornecer 4900\\ \mathrm{N} contra a gravidade.
  • Agora o termo de aceleração:
    • Para (a) movimento uniforme: a=0\Rightarrow m a = 0.
    • Para (b) a=0,2\\ \mathrm{m/s^2}\Rightarrow m a = 1000\cdot 0,2 = 200\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Força paralela (atrito/tração) que a pista exerce — cálculo final para cada caso.
  • Usando f = m a + mg\sin\theta:
    • Caso (a), a=0: f = 0 + 4900 = 4900\\ \mathrm{N}.
    • Caso (b), a=0,2\\ \mathrm{m/s^2}: f = 200 + 4900 = 5100\\ \mathrm{N}.
Explicação física curta: esse f é a força que a pista (por atrito estático) exerce sobre o carro para empurrá‑lo para cima; o motor deve gerar torque suficiente para que a interação roda–pista produza esses valores de f.

Passo 6

Força normal (complemento didático) — por que olhar para isto faz sentido.
  • No eixo perpendicular ao plano, como não há aceleração: \sum F_y = N - mg\cos\theta = 0 \quad\Rightarrow\quad N = mg\cos\theta.
  • Calculemos numericamente: N = 1000\cdot 9,8\cdot \cos 30^\circ = 1000\cdot 9,8\cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2}.Como \tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,8660254, N \approx 1000\cdot 9,8\cdot 0,8660 \approx 8486\\ \mathrm{N}.
  • Observação didática: o valor de N é o mesmo em (a) e (b), porque a aceleração é ao longo do plano (não altera a componente perpendicular do peso neste modelo).

Passo 7

Comentário sobre realismo da inclinação 30^\circ.
  • A inclinação em percentagem (declive) é dada por \tan\theta. Para \theta=30^\circ, \tan 30^\circ = \tfrac{1}{\sqrt{3}}\approx 0,577,ou seja, cerca de 57,7\% de inclinação (multiplicar por 100\% para obter percentagem).
  • Em estradas reais, rampas muito íngremes costumam ficar na faixa de poucas dezenas de percentuais no máximo; ruas urbanas normais raramente passam de 10\% a 15\%. Uma inclinação de 57,7\% é extremamente íngreme — mais parecida com caminhos de montanha muito íngremes, calcários ou escadas longas do que com uma avenida urbana. Portanto, considero que uma avenida com inclinação de 30^\circ não é realista para vias normais; é uma inclinação muito grande para carros circularem em cidade sem dificuldades ou riscos adicionais.

Resposta

(a) Força que o motor deve exercer (força de tração / atrito): 4900\\ \mathrm{N}
Força que a pista exerce sobre o automóvel (atrito): 4900\\ \mathrm{N}
(b) Força que o motor deve exercer (força de tração / atrito): 5100\\ \mathrm{N}
Força que a pista exerce sobre o automóvel (atrito): 5100\\ \mathrm{N}
Força normal (para referência): N\approx 8486\\ \mathrm{N}
Comentário sobre realismo: Uma inclinação de 30^\circ corresponde a cerca de 57,7\% de subida, o que é muito íngreme e não é realista para uma avenida urbana comum.

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