O automóvel se desloca em uma estrada horizontal com velocidade constante de modo tal que seus pneus rolam sem qualquer deslizamento na pista. Cada pneu tem diâmetro D= 0,50 m, e um medidor colocado em um deles registra uma frequência de 840 rpm. A velocidade do automóvel é de:

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem um carro que está andando numa estrada de forma que os pneus rolam sem deslizar. Cada pneu tem um diâmetro de 0,50 metros, e um aparelho no pneu está registrando uma frequência de 840 rotações por minuto (rpm). A pergunta é: qual é a velocidade do carro?
Para resolver isso, vamos precisar usar alguns conceitos de cinemática relacionados ao movimento de rotação e translação, especialmente a relação entre a velocidade angular dos pneus e a velocidade linear do carro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre a velocidade angular e a velocidade linear. Quando o pneu rola sem deslizar, a velocidade linear do carro (v) está relacionada à velocidade angular dos pneus (ω) e ao raio do pneu ® pela fórmula:
v = omega times r
Aqui, ω é a velocidade angular em radianos por segundo, e r é o raio do pneu.

Passo 3

Mas no exercício, a frequência está dada em rotações por minuto (rpm). Precisamos converter isso para radianos por segundo para usar na fórmula.
Sabemos que:
  • 1 rotação = $ 2\pi $ radianos
  • 1 minuto = 60 segundos
Então, para converter rpm para rad/s, usamos:
2pi

Passo 4

Vamos aplicar os valores do exercício:
  • Frequência: 840 rpm
  • Diâmetro do pneu: 0,50 m, então o raio ® é metade disso:
    r = 0,50, m2 = 0,25, m
Primeiro, converter a frequência para rad/s:
omega = 840 times 2pi60

Passo 5

Calculando ω:
omega = 840 times 2pi60 = 84060 times 2pi = 14 times 2pi = 28pi, rad/s

Passo 6

Agora, podemos usar a fórmula da velocidade linear:
v = omega times r = 28pi, rad/s times 0,25, m

Passo 7

Multiplicando os valores:
v = 28pi times 0,25 = 7pi, m/s

Passo 8

Para obter um valor numérico, calculamos $ 7\pi $:
7pi

Resposta

A velocidade do automóvel é aproximadamente 21,99 metros por segundo.

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