Um automóvel percorreu 160 km numa rodovia que liga duas cidades e gastou, neste trajeto, 2 horas e 20 minutos. A tabela abaixo dá o tempo gasto e a distância percorrida em alguns pontos entre as duas cidades.
Tempo
(min)
Distância
(km)
0
0
10
8
30
27
60
58
90
100
120
145
140
160
Determine:
Qual foi aproximadamente à distância percorrida pelo automóvel nos primeiros 45 minutos de viagem, considerando apenas os quatro primeiros pontos da tabela?
|
|
||||
| 0 | 0 | ||||
| 10 | 8 | ||||
| 30 | 27 | ||||
| 60 | 58 | ||||
| 90 | 100 | ||||
| 120 | 145 | ||||
| 140 | 160 |
Qual foi aproximadamente à distância percorrida pelo automóvel nos primeiros 45 minutos de viagem, considerando apenas os quatro primeiros pontos da tabela?
Passo 1
O enunciado pede que a gente estime a distância percorrida pelo automóvel nos primeiros 45 minutos de viagem, usando apenas os quatro primeiros pontos da tabela. Ou seja, queremos o valor da distância no tempo
minutos, usando os pontos:
Aqui cada par é
. A pergunta é: qual a distância aproximada em km quando
min, obtida a partir desses quatro pontos?
Passo 2
O método que vou usar é interpolação polinomial passando por esses quatro pontos (polinômio de grau até 3). Explico o porquê de forma simples e prática:
- Interpolação polinomial cria um polinômio
que passa exatamente por todos os pontos dados, de modo que , , , . - Como temos quatro pontos, podemos obter um polinômio de grau até 3 (cúbico). Esse polinômio nos dá uma estimativa para
.
Vou usar a fórmula de Newton com diferenças divididas porque é direta para calcular o polinômio e fácil de avaliar em um ponto.
Passo 3
Primeiro listamos os pontos com notação:
Definição rápida: a diferença dividida de primeira ordem entre
e
é
Diferenças de ordem maior são definidas recursivamente, por exemplo
Passo 4
Calculo as diferenças divididas de primeira ordem:
Agora:
Passo 5
Calculo as diferenças divididas de segunda ordem:
Passo 6
Calculo a diferença dividida de terceira ordem:
A diferença no numerador é
. Dividindo por
dá
Passo 7
Agora escrevemos o polinômio de Newton (forma prática) até grau 3:
Substituindo os coeficientes que calculamos:
Passo 8
Agora avaliamos
em
:
Calcule cada fator passo a passo para evitar confusão.
Calcule cada fator passo a passo para evitar confusão.
Termos:
Observe que
e que
, então
Somando os termos:
Passo 9
Interpretação e checagem rápida:
km. Faz sentido porque
km e
km, então o valor em
min deve ficar entre
e
. Um interpolador linear entre 30 e 60 daria
, bem próximo do resultado cúbico, o que confirma plausibilidade.