Um automóvel percorreu 160 km numa rodovia que liga duas cidades e gastou, neste trajeto, 2 horas e 20 minutos. A tabela abaixo dá o tempo gasto e a distância percorrida em alguns pontos entre as duas cidades.
Tempo
(min)
Distância
(km)
0 0
10 8
30 27
60 58
90 100
120 145
140 160
Determine:
Qual foi aproximadamente à distância percorrida pelo automóvel nos primeiros 45 minutos de viagem, considerando apenas os quatro primeiros pontos da tabela?

Passo 1

O enunciado pede que a gente estime a distância percorrida pelo automóvel nos primeiros 45 minutos de viagem, usando apenas os quatro primeiros pontos da tabela. Ou seja, queremos o valor da distância no tempo t=45 minutos, usando os pontos:
(0,0),\quad (10,8),\quad (30,27),\quad (60,58).
Aqui cada par é (\text{tempo (min)},\\ \text{distância (km)})â. A pergunta é: qual a distância aproximada em km quando t=45 min, obtida a partir desses quatro pontos?

Passo 2

O método que vou usar é interpolação polinomial passando por esses quatro pontos (polinômio de grau até 3). Explico o porquê de forma simples e prática:
  • Interpolação polinomial cria um polinômio P(t) que passa exatamente por todos os pontos dados, de modo que P(0)=0, P(10)=8, P(30)=27, P(60)=58.
  • Como temos quatro pontos, podemos obter um polinômio de grau até 3 (cúbico). Esse polinômio nos dá uma estimativa para P(45).
    Vou usar a fórmula de Newton com diferenças divididas porque é direta para calcular o polinômio e fácil de avaliar em um ponto.

Passo 3

Primeiro listamos os pontos com notação:
x_0=0,\\ y_0=0;\quad x_1=10,\\ y_1=8;\quad x_2=30,\\ y_2=27;\quad x_3=60,\\ y_3=58.
Definição rápida: a diferença dividida de primeira ordem entre x_i e x_j é
f[x_i,x_j]=\frac{f(x_j)-f(x_i)}{x_j-x_i}.
Diferenças de ordem maior são definidas recursivamente, por exemplo
f[x_i,x_j,x_k]=\frac{f[x_j,x_k]-f[x_i,x_j]}{x_k-x_i}.

Passo 4

Calculo as diferenças divididas de primeira ordem:
f[x_0]=y_0=0,\quad f[x_1]=y_1=8,\quad f[x_2]=y_2=27,\quad f[x_3]=y_3=58.
Agora:
f[x_0,x_1]=\frac{8-0}{10-0}= \frac{8}{10}=0{,}8.
f[x_1,x_2]=\frac{27-8}{30-10}= \frac{19}{20}=0{,}95.
f[x_2,x_3]=\frac{58-27}{60-30}= \frac{31}{30}\approx 1{,}033333333.

Passo 5

Calculo as diferenças divididas de segunda ordem:
f[x_0,x_1,x_2]=\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0} = \frac{0{,}95-0{,}8}{30-0}=\frac{0{,}15}{30}=0{,}005.
f[x_1,x_2,x_3]=\frac{f[x_2,x_3]-f[x_1,x_2]}{x_3-x_1} = \frac{1{,}033333333-0{,}95}{60-10}=\frac{0{,}083333333}{50}=0{,}00166666666\ldots

Passo 6

Calculo a diferença dividida de terceira ordem:
f[x_0,x_1,x_2,x_3]=\frac{f[x_1,x_2,x_3]-f[x_0,x_1,x_2]}{x_3-x_0} = \frac{0{,}00166666666\ldots-0{,}005}{60-0}.
A diferença no numerador é -0{,}00333333333\ldots. Dividindo por 60
f[x_0,x_1,x_2,x_3]=-0{,}00005555555556\quad\text{(que é }-1/18000\text{)}.é

Passo 7

Agora escrevemos o polinômio de Newton (forma prática) até grau 3:
P(t)=f[x_0]+f[x_0,x_1](t-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](t-x_0)(t-x_1)+f[x_0,x_1,x_2,x_3](t-x_0)(t-x_1)(t-x_2).
Substituindo os coeficientes que calculamos:
P(t)=0 + 0{,}8(t-0)+0{,}005(t-0)(t-10)-0{,}00005555555556(t-0)(t-10)(t-30).

Passo 8

Agora avaliamos P em t=45:
Calcule cada fator passo a passo para evitar confusão.
(t-0)=45,\quad (t-10)=35,\quad (t-30)=15.
Termos:
\text{Termo linear }=0{,}8\cdot 45 = 36.
\text{Termo quadrático }=0{,}005\cdot 45\cdot 35 = 0{,}005\cdot 1575 = 7{,}875.á
\text{Termo cúbico }=-0{,}00005555555556\cdot 45\cdot 35\cdot 15.ú
Observe que 45\cdot 35\cdot 15=23625 e que 0{,}00005555555556=1/18000, então
\text{Termo cúbico }=-\frac{23625}{18000}=-1{,}3125.ú
Somando os termos:
P(45)=36 + 7{,}875 - 1{,}3125 = 42{,}5625.

Passo 9

Interpretação e checagem rápida: P(45)\approx 42{,}56 km. Faz sentido porque P(30)=27 km e P(60)=58 km, então o valor em 45 min deve ficar entre 27 e 58. Um interpolador linear entre 30 e 60 daria 27 + 15\cdot\frac{58-27}{30}=42{,}5, bem próximo do resultado cúbico, o que confirma plausibilidade.

Resposta

42{,}5625\\ \text{km} (aproximadamente 42{,}56\\ \text{km}).

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