12 Determine, usando todos os valores conhecidos das funções F(x) e G(x), o valor de \mathrm{F}(\mathrm{G}(0,23)).
\mathbf{x} \mathbf{F ( x )}
1,0 0,00
1,1 0,21
1,3 0,69
1,6 1,56
2,0 3,00
\mathbf{x} \mathbf{G ( x )}
0,0 1,001
0,2 1,083
0,4 1,645
0,6 3,167
0,8 6,129

Passo 1

O que o exercício pede: calcular \mathrm{F}(\mathrm{G}(0,23)).
Informações fornecidas (peguei os valores diretamente das tabelas do enunciado):
\begin{array}{|c|c|} \hline x & G(x)\\\ \hline 0,0 & 1,001\\\\ 0,2 & 1,083\\\\ 0,4 & 1,645\\\\ 0,6 & 3,167\\\\ 0,8 & 6,129\\\ \hline \end{array} \qquad \begin{array}{|c|c|} \hline x & F(x)\\\ \hline 1,0 & 0,00\\\\ 1,1 & 0,21\\\\ 1,3 & 0,69\\\\ 1,6 & 1,56\\\\ 2,0 & 3,00\\\ \hline \end{array}
Observação importante: o valor 0,23 não aparece na tabela de G e o valor que obteremos para G(0,23) também não aparece na tabela de F. Logo teremos que aproximar usando interpolação linear entre pontos conhecidos.

Passo 2

Explicação do método (interpolação linear) — a ideia e a fórmula:
Se conhecemos f(x_0) e f(x_1) e queremos aproximar f(x) para x entre x_0 e x_1, a interpolação linear assume que f varia linearmente entre esses pontos. A fórmula é
f(x)\approx f(x_0)+\frac{x-x_0}{x_1-x_0}\bigl(f(x_1)-f(x_0)\bigr).
Aqui \frac{x-x_0}{x_1-x_0} é a fração do caminho entre x_0 e x_1 onde x se encontra (chamo isso de t).
Vou usar essa fórmula primeiro para aproximar G(0,23) usando os pontos conhecidos mais próximos em G, que são x_0=0,2 e x_1=0,4 (valores retirados da tabela).

Passo 3

Cálculo de G(0,23) por interpolação entre x_0=0,2,\;G(0,2)=1,083 e x_1=0,4,\;G(0,4)=1,645.
Calculo de t:
t=\frac{0,23-0,2}{0,4-0,2}=\frac{0,03}{0,2}=0,15.
Diferença de valores:
G(0,4)-G(0,2)=1,645-1,083=0,562.
Incremento:
t\cdot\bigl(G(0,4)-G(0,2)\bigr)=0,15\cdot 0,562=0,0843.
Soma para obter G(0,23):
G(0,23)\approx 1,083+0,0843=1,1673.
Conclusão deste passo: G(0,23)\approx 1,1673.

Passo 4

Agora precisamos de F nesse argumento: queremos F\bigl(G(0,23)\bigr)=F(1,1673\ldots). A tabela de F não tem esse valor exato; os pontos mais próximos são x_0=1,1,\;F(1,1)=0,21 e x_1=1,3,\;F(1,3)=0,69. Aplicamos novamente a interpolação linear.
Calculo de t para F:
t=\frac{1,1673-1,1}{1,3-1,1}=\frac{0,0673}{0,2}=0,3365.
Diferença de valores:
F(1,3)-F(1,1)=0,69-0,21=0,48.
Incremento:
t\cdot\bigl(F(1,3)-F(1,1)\bigr)=0,3365\cdot 0,48=0,16152.
Soma para obter F(1,1673):
F(1,1673)\approx 0,21+0,16152=0,37152.
Conclusão deste passo: F(G(0,23))\approx 0,37152.

Passo 5

Arredondamento e nota sobre aproximação: como trabalhei com duas interpolação lineares sucessivas, o resultado é uma aproximação. Arredondando a três casas decimais (prática comum para respostas em tabelas), temos
F(G(0,23))\approx 0,372.

Resposta

0,372

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