Discuta o sistema linear nas incógnitas x, y e z a seguir em função do parâmetro real p.
\left\{\begin{aligned} 2 x+y+p z & =0 \\ x+5 y+2 z & =0 \\ x+5 y+z & =0 \end{aligned}\right.

Passo 1

O sistema dado depende de um parâmetro real p. Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
  • Sistema (em incógnitas x,y,z):
\begin{aligned} 2x+y+pz&=0,\\\ x+5y+2z&=0,\\\ x+5y+z&=0. \end{aligned}
  • Informação: p\in\mathbb{R} é um parâmetro livre.
  • O que o enunciado pede: discutir o sistema em função de p, ou seja, determinar para cada p se o sistema é compatível e, quando for, descrever o conjunto de soluções (única solução, infinitas soluções, etc.).

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado devagar e como se estivéssemos na prova).
  • O sistema é homogêneo (todas as constantes do lado direito são zero). Isso sempre garante pelo menos a solução trivial (x,y,z)=(0,0,0).
  • Para sistemas lineares homogêneos A\mathbf{v}=0 em \mathbb{R}^3 há duas situações principais:
    • Se \det(A)\neq 0, a matriz A é invertível e a única solução é a trivial \mathbf{v}=0.
    • Se \det(A)=0, a matriz não é invertível e pode haver soluções não triviais (um espaço de soluções de dimensão \ge 1).
  • Portanto, testar \det(A) é um método direto e prático para decidir se existem soluções não triviais. Vou então calcular \det(A).

Passo 3

Escrever a matriz dos coeficientes A e calcular o determinante passo a passo:
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & p\\[4pt] 1 & 5 & 2\\[4pt] 1 & 5 & 1 \end{pmatrix}.
Calculemos \det(A) usando a fórmula de Laplace ou operações elementares. Primeiro, subtraio a terceira linha da segunda linha (operação que não altera o determinante):
\begin{pmatrix} 2 & 1 & p\\[4pt] 1 & 5 & 2\\[4pt] 1 & 5 & 1 \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} 2 & 1 & p\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 5 & 1 \end{pmatrix}.
Agora calculo o determinante expandindo pela segunda linha (que tem dois zeros):
\det(A)=(-1)^{2+3}\cdot 1 \cdot \det\begin{pmatrix}2 & 1\\[2pt]1 & 5\end{pmatrix}.
O fator de sinal é (-1)^5=-1. Então
\det(A)=-\big(2\cdot 5 - 1\cdot 1\big)=-\big(10-1\big)=-9.
Observação: esse cálculo mostra que \det(A)=-9 e, muito importante, esse valor é independente de p (o termo com p cancela no cálculo).]

Passo 4

Interpretação do resultado do determinante.
  • Encontramos \det(A)=-9. Em particular \det(A)\neq 0.
  • Como \det(A)\neq 0, a matriz A é invertível para todo p\in\mathbb{R}.
  • Para o sistema homogêneo isso implica que a única solução é a solução trivial (x,y,z)=(0,0,0), para qualquer valor de p.

Passo 5

Uma resolução por eliminação para ver explicitamente como surge a solução trivial (útil para a prova — mostramos as contas que você pode fazer sem calcular determinante, caso prefira eliminação direta).
Volto ao sistema original e faço a operação linha: \text{R}_2 \leftarrow \text{R}_2-\text{R}_3. Das duas últimas equações obtemos
(\text{R}_2-\text{R}_3):\quad (x+5y+2z)-(x+5y+z)=z=0.
Portanto já concluímos que
z=0.
Substituindo z=0 nas duas primeiras das equações originais (por exemplo nas equações 1 e 2), obtemos o sistema em x,y:
\begin{aligned} 2x+y&=0,\\\ x+5y&=0. \end{aligned}
Agora resolvemos esse par de equações. Da primeira vem y=-2x. Substituindo na segunda:
x+5(-2x)=x-10x=-9x=0 \quad\Rightarrow\quad x=0.
Logo y=-2x=0. Assim
x=0,\quad y=0,\quad z=0.
Isso confirma explicitamente a solução trivial, sem depender de p.

Passo 6

Conclusão final e comentário motivacional.
  • Para todo p\in\mathbb{R} a matriz dos coeficientes tem determinante -9\neq 0, logo o sistema homogêneo tem apenas a solução trivial.
  • Dica para a prova: quando o sistema é homogêneo, primeiro cheque se a matriz é invertível (determinante diferente de zero). Se for, você já garante que a única solução é a trivial — é rápido e seguro. Se o determinante for zero, aí vale investigar o posto da matriz e procurar a família de soluções (parâmetros livres).

Resposta

(x,y,z)=(0,0,0) para todo p\in\mathbb{R}.

Exercícios relacionados