Um automóvel tem massa igual 1,00 t, e seu sistema de amortecimento pode ser tratado em uma modelagem simplificada como um oscilador amortecido formado por uma única mola efetiva com k=10^5 N / m.
a) Observa-se que ocorrem oscilações de frequência igual a 1,44 Hz quando o carro em movimento passa por um buraco ou qualquer outro obstáculo. Calcule a constante de amortecimento efetiva do sistema. (b=8,5 t / s)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um carro com massa de 1,00 , t (tonelada) e um sistema de amortecimento que a gente pode modelar como um oscilador amortecido com uma mola de constante efetiva k = 10^5 , N/m. Quando o carro passa por um buraco ou obstáculo, ele oscila com uma frequência de 1,44 , Hz. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a constante de amortecimento efetiva desse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a massa do carro para unidades do Sistema Internacional. Sabemos que 1 , t = 1000 , kg. Então:
m = 1,00 , t = 1000 , kg

Passo 3

A frequência das oscilações de um sistema massa-mola amortecido é dada por:
f = 12pi raizkm - (b2m)^2
Onde:
  • f é a frequência das oscilações,
  • k é a constante da mola,
  • m é a massa, e
  • b é a constante de amortecimento que queremos encontrar.

Passo 4

Vamos reorganizar a fórmula para isolar b. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 2pi:
2pi f = raizkm - (b2m)^2
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(2pi f)^2 = km - (b2m)^2

Passo 5

Vamos reorganizar a equação para trazer o termo com b para um lado:
(b2m)^2 = km - (2pi f)^2
Multiplicando ambos os lados por (2m)^2 para isolar b^2:
b^2 = 4m^2 ( km - (2pi f)^2 )
Simplificando km:
b^2 = 4m(k - m(2pi f)^2)

Passo 6

Agora, substituímos os valores conhecidos na equação. Primeiro, calculamos 2pi f:
2pi f = 2pi times 1,44 approx 9,05 , rad/s
Então, (2pi f)^2:
(2pi f)^2 approx (9,05)^2 approx 81,9 , rad^2/s^2
Agora, calculamos k - m(2pi f)^2:
k - m(2pi f)^2 = 10^5 , N/m - 1000 , kg times 81,9 , rad^2/s^2
k - m(2pi f)^2 = 10^5 - 81,900 = 91810 , N/m

Passo 7

Agora, substituímos na fórmula de b^2:
b^2 = 4 times 1000^2 times 91810
Calculando:
b^2 = 4 times 10^6 times 91810 = 3,6724 times 10^11
Para encontrar b, tiramos a raiz quadrada:
b = raiz3,6724 times 10^11 approx 6,06 times 10^5 , kg/s

Passo 8

Mas, percebemos que a unidade de b está em kg/s. Para converter para t/s, considerando que 1 , t = 1000 , kg:
b = 6,06 times 10^5 , kg/s1000 = 606 , t/s
No entanto, isso não corresponde ao valor esperado de 8,5 , t/s. Vamos revisar os cálculos.

Passo 9

Peço desculpas pelo erro anterior. Vamos refazer mais cuidadosamente a etapa onde calculamos (b2m)^2.
A fórmula correta para a frequência de um oscilador amortecido é:
f = 12pi raizkm - (b2m)^2
Elevando ao quadrado:
(2pi f)^2 = km - (b2m)^2
Reorganizando para isolar b:
(b2m)^2 = km - (2pi f)^2
Multiplicando ambos os lados por 4m^2:
b^2 = 4m^2 ( km - (2pi f)^2 )
Simplificando:
b^2 = 4m(k - m(2pi f)^2)
Substituindo os valores:
b^2 = 4 times 1000 times (10^5 - 1000 times (9,05)^2)
Calculando:
10^5 - 1000 times 81,9 = 10^5 - 81900 = 180100
Então:
b^2 = 4 times 1000 times 180100 = 7,204 times 10^8
Tirando a raiz quadrada:
b = raiz7,204 times 10^8 approx 26852 , kg/s
Convertendo para t/s:
b = 268521000 approx 26,85 , t/s
Ainda não corresponde ao valor esperado. Parece que houve um equívoco na aplicação da fórmula. Vamos usar uma abordagem diferente.

Passo 10

Vamos utilizar a relação entre a frequência amortecida ( fd) e a frequência natural ( fn):
fd = fn raiz1 - zeta^2
Onde:
  • zeta é o coeficiente de amortecimento,
  • fn = 12pi raizkm é a frequência natural.
Primeiro, calculamos fn:
fn = 12pi raiz10^51000 = 12pi raiz100 = 102pi approx 1,59 , Hz
Sabemos que fd = 1,44 , Hz. Então:
1,44 = 1,59 raiz1 - zeta^2
Dividindo ambos os lados por 1,59:
raiz1 - zeta^2 = 1,441,59 approx 0,906
Elevando ao quadrado:
1 - zeta^2 = 0,906^2 approx 0,82
Então:
zeta^2 = 1 - 0,82 = 0,18
zeta approx raiz0,18 approx 0,424
A relação entre zeta e b é:
zeta = b2raizmk
Isolando b:
b = 2zeta raizmk
Substituindo os valores:
b = 2 times 0,424 times raiz1000 times 10^5 = 0,848 times raiz10^8 = 0,848 times 10^4 = 8480 , kg/s
Convertendo para t/s:
b = 84801000 = 8,48 , t/s

Resposta

A constante de amortecimento efetiva do sistema é aproximadamente b = 8,5 , t/s.

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