Um oscilador amortecido tem uma frequência igual a
da frequência de ressonância. Calcule a taxa de decréscimo da amplitude a cada ciclo completo. (95.2%)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta fala sobre um oscilador amortecido cuja frequência é 90% da frequência de ressonância. Nosso objetivo é calcular a taxa de decréscimo da amplitude a cada ciclo completo. Para isso, vamos precisar entender as equações do movimento para osciladores amortecidos e como a amplitude diminui ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da frequência de um oscilador amortecido. A frequência de um oscilador sem amortecimento é chamada de frequência natural e é representada por $ \omega_0 $. Quando há amortecimento, a frequência do movimento se torna menor e é dada por:
Aqui, $ \omega_d $ é a frequência amortecida e $ \gamma $ é a constante de amortecimento.
Passo 3
No enunciado, sabemos que a frequência do oscilador amortecido é 90% da frequência de ressonância ($ \omega_0 $). Então podemos escrever:
Substituindo isso na fórmula da frequência amortecida:
Passo 4
Vamos simplificar essa equação. Primeiro, dividimos ambos os lados por $ \omega_0 $:
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Calculando $ 0,9^2 $:
Passo 5
Agora, isolamos $ \left(\frac{\gamma}{\omega_0}\right)^2 $:
Então, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por $ \omega_0 $:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar a taxa de decréscimo da amplitude a cada ciclo completo. A amplitude de um oscilador amortecido diminui exponencialmente com o tempo, de acordo com:
Para um ciclo completo, o tempo $ T $ é o período do oscilação amortecida, que é:
Passo 7
Queremos saber quanto a amplitude diminui a cada ciclo $ T $. Então, calculamos a razão entre a amplitude após um ciclo e a amplitude inicial:
Substituindo $ \gamma $ e $ T $:
Simplificando:
Passo 8
Calculando $ e^{-3.046} $:
Isso significa que a amplitude diminui para aproximadamente 4,7% da amplitude original a cada ciclo.
Resposta
A taxa de decréscimo da amplitude a cada ciclo completo é de aproximadamente 4,7%.