Um oscilador amortecido tem uma frequência igual a 90 % da frequência de ressonância. Calcule a taxa de decréscimo da amplitude a cada ciclo completo. (95.2%)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta fala sobre um oscilador amortecido cuja frequência é 90% da frequência de ressonância. Nosso objetivo é calcular a taxa de decréscimo da amplitude a cada ciclo completo. Para isso, vamos precisar entender as equações do movimento para osciladores amortecidos e como a amplitude diminui ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da frequência de um oscilador amortecido. A frequência de um oscilador sem amortecimento é chamada de frequência natural e é representada por $ \omega_0 $. Quando há amortecimento, a frequência do movimento se torna menor e é dada por:
omega0
Aqui, $ \omega_d $ é a frequência amortecida e $ \gamma $ é a constante de amortecimento.

Passo 3

No enunciado, sabemos que a frequência do oscilador amortecido é 90% da frequência de ressonância ($ \omega_0 $). Então podemos escrever:
omega0
Substituindo isso na fórmula da frequência amortecida:
omegad = 0,9 omega0

Passo 4

Vamos simplificar essa equação. Primeiro, dividimos ambos os lados por $ \omega_0 $:
omega0
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
0,9 = raiz1 - (gammaomega0)^2
Calculando $ 0,9^2 $:
(0,9)^2 = 1 - (gammaomega0)^2

Passo 5

Agora, isolamos $ \left(\frac{\gamma}{\omega_0}\right)^2 $:
(gammaomega0)^2
Então, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
(gammaomega0)^2 = 1 - 0,81 = 0,19
Multiplicando ambos os lados por $ \omega_0 $:
gammaomega0 = raiz0,19 approx 0,4359

Passo 6

Agora, precisamos encontrar a taxa de decréscimo da amplitude a cada ciclo completo. A amplitude de um oscilador amortecido diminui exponencialmente com o tempo, de acordo com:
A(t) = A0 e^-gamma t
Para um ciclo completo, o tempo $ T $ é o período do oscilação amortecida, que é:
T

Passo 7

Queremos saber quanto a amplitude diminui a cada ciclo $ T $. Então, calculamos a razão entre a amplitude após um ciclo e a amplitude inicial:
T
Substituindo $ \gamma $ e $ T $:
A(T)A0 = e^-gamma T
Simplificando:
gamma

Passo 8

Calculando $ e^{-3.046} $:
e^-3.046
Isso significa que a amplitude diminui para aproximadamente 4,7% da amplitude original a cada ciclo.

Resposta

A taxa de decréscimo da amplitude a cada ciclo completo é de aproximadamente 4,7%.

Exercícios relacionados