Um automóvel está trafegando numa estrada a 25 m / s. Quando o carro passar por uma encruzilhada, um passageiro lança pela janela do automóvel, para o alto e sob um ângulo de 45^circ, uma bola, numa direção perpendicular à do movimento do carro. A velocidade inicial da bola em relação ao carro é de 10 m / s, e ela parte de uma altura igual a 1.2 m do chão. (a) Escrever a velocidade inicial da bola (relativa à estrada), em termos dos vetores unitários i, j e k. (b) Qual a posição em que a bola atinge o solo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que um carro anda a 25 m/s e, quando passa num cruzamento, um passageiro atira uma bola para cima, formando 45° com a horizontal, mas nessa direção que é perpendicular ao movimento do carro. A velocidade inicial da bola em relação ao carro é de 10 m/s, e ela sai de uma altura de 1,2 m do chão.
Conteúdo: cinemática vetorial e lançamento oblíquo.
O que precisamos:
  1. Decompor vetores para achar a velocidade inicial da bola em relação à estrada.
  2. Usar as equações paramétricas do movimento (x(t), y(t), z(t)), achar o tempo de queda e, com ele, a posição onde bate no chão.

Passo 2

Primeiro a gente monta a velocidade inicial da bola em relação ao solo. Tem duas partes:
  • Velocidade do carro (em relação ao solo):
    vrm rel,x=0, vrm rel,y=10cos45^circ=10raiz2, vrm rel,z=10sin45^circ=10raiz2 .
  • Velocidade da bola em relação ao carro (módulo 10 m/s, 45° para cima, e no eixo vec v0=vec vrm carro+vec vrm rel =25,hatimath+10raiz2,hatjmath +10raiz2,hat k é perpendicular ao carro):
    decompondo: Logo
Agora, para achar a velocidade inicial em relação ao solo, somamos vetorialmente:

Passo 3

Agora vamos escrever as equações paramétricas do movimento, tomando quando a bola sai da mão:
  • x(t): deslocamento na direção
  • y(t): deslocamento na direção
  • z(t): altura (direção ), com m/s² apontando para baixo

Passo 4

Pra achar o tempo de queda, impomos 1,2 + 10raiz2,t -4,9,t^2=0 :
t=-bpmraizb^2-4ac2a,
Isso é uma equação quadrática tapprox1,60 s com
.
Usando fórmula de Bhaskara
a raiz positiva dá

Passo 5

Com x(1,60)=25times1,60approx39,9 m, y(1,60)=10raiz2times1,60approx11,3 m s, calculamos x e y:

Resposta

(a) .
(b) A bola cai no ponto
metros em relação ao cruzamento.

Exercícios relacionados