Num dado instante t uma partícula de massa 3,5 k g está na posição \vec{r}=3,0 m \hat{\imath}+4.2 m \hat{\jmath} e velocidade \vec{v}=-5.0 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}} \hat{\jmath}. Nesse mesmo instante há uma força \vec{F}=-4,5 N \hat{\imath} sobre ela. Determine
O torque da força \vec{F} em torno da origem.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede uma coisa clara.
Dados:
\vec{r}=3,0\\ \mathrm{m}\,\hat{\imath}+4,2\\ \mathrm{m}\,\hat{\jmath}
\vec{v}=-5,0\\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\;\hat{\jmath}
\vec{F}=-4,5\\ \mathrm{N}\,\hat{\imath}
(peguei os valores de posição, velocidade e força diretamente do enunciado)
Pedido:
Determinar o torque da força \vec{F} em torno da origem (isto é, encontrar \vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}).
Observação útil já daqui: a massa e a velocidade foram dadas no enunciado, mas não são necessárias para calcular o torque neste instante — só precisamos de \vec{r} e \vec{F}.

Passo 2

O que é torque e como vamos calcular: o torque (ou momento) de uma força em relação a um ponto é o produto vetorial entre o vetor posição \vec{r} (do ponto de referência até o ponto de aplicação da força) e a força \vec{F}:
\vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}.
Explicando isso devagar:
  • \vec{r} é o vetor posição; suas componentes (x,y,z) dizem onde a força age.
  • \vec{F} é a força; suas componentes (F_x,F_y,F_z) dizem para onde a força aponta.
  • O produto vetorial gera um vetor perpendicular ao plano formado por \vec{r} e \vec{F}. Em coordenadas cartesianas, a componente z do torque (o único não nulo se \vec{r} e \vec{F} estiverem no plano xy) é dada por
\tau_z = x F_y - y F_x.
Isto vem da fórmula do determinante para o produto vetorial. Aqui, \tau_z>0 significa direção \hat{k} (saindo do plano xy, segundo a regra da mão direita).

Passo 3

Converter os vetores dados para componentes numéricas (tudo retirado do enunciado):
\vec{r}=(x,y,z)=(3,0\\ \mathrm{m},\;4,2\\ \mathrm{m},\;0)
\vec{F}=(F_x,F_y,F_z)=(-4,5\\ \mathrm{N},\;0,\;0)
Note que F_y=0 e z-componentes são zero porque todos os vetores estão no plano xy.

Passo 4

Aplicar a fórmula da componente z do torque:
\tau_z = x F_y - y F_x.
Substituindo os valores:
\tau_z = 3,0\cdot 0 - 4,2\cdot(-4,5).
Agora calculamos passo a passo:
3,0\cdot 0 = 0,
4,2\cdot(-4,5) = -18,9.
Portanto
\tau_z = 0 - (-18,9)=18,9.

Passo 5

Interpretando o resultado: a componente não nula do torque é positiva e aponta na direção \hat{k} (para fora do plano xy, segundo a regra da mão direita). A unidade do torque é \mathrm{N\cdot m}. Assim o vetor torque é
\vec{\tau}=18,9\\ \mathrm{N\cdot m}\,\hat{k}.

Resposta

\vec{\tau}=18,9\\ \mathrm{N\cdot m}\,\hat{k}

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