Um automóvel viaja em uma estrada retilínea por 60 km a 30 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Em seguida, continuando no mesmo sentido, percorre outros 20 km a 50 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. (a) Qual é a velocidade média do carro durante esse percurso de 80 km ? (Suponha que o carro está se movendo no sentido positivo do eixo x.) (b) Qual é a velocidade escalar média? (c) Desenhe o gráfico de x em função de t e mostre como calcular a velocidade média a partir do gráfico.

Passo 1

O enunciado dá um automóvel que percorre dois trechos em linha reta, no mesmo sentido (eixo x positivo). As informações são: \n
  • Primeiro trecho: deslocamento 60\\ \text{km} com velocidade constante 30\\ \text{km}/\text{h}. \n
  • Segundo trecho: deslocamento 20\\ \text{km} com velocidade constante 50\\ \text{km}/\text{h}. \n
    As perguntas são: \n
    (a) Qual é a velocidade média do carro durante todo o percurso de 80\\ \text{km}? \n
    (b) Qual é a velocidade escalar média (ou seja, a média das velocidades em valor absoluto)? \n
    (c) Desenhar o gráfico x em função de t e mostrar como calcular a velocidade média a partir do gráfico. \n
    Nada ainda está sendo calculado aqui — só listei os dados e o que se pede.

Passo 2

Vamos lembrar as definições importantes (explicando cada símbolo): \n
  • Deslocamento total: \Delta x é a diferença entre a posição final e a inicial, em \text{km}. \n
  • Tempo total: \Delta t é o tempo total gasto, em \text{h}. \n
  • Velocidade média (vetorial): \displaystyle \bar{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t}. Aqui \bar{v} tem sinal e unidades \text{km}/\text{h}. \n
  • Velocidade escalar média (também chamada de velocidade média em valor absoluto): \displaystyle \bar{v}_{\text{esc}} = \frac{\text{distância total}}{\Delta t}â. Distância total é o comprimento do trajeto percorrido, sempre positivo. \n
    Observação didática: se o móvel não muda de sentido, distância total = módulo do deslocamento, então \bar{v} e \bar{v}_{\text{esc}} têm o mesmo valor numérico.

Passo 3

Calcular os tempos gastos em cada trecho (faça essa conta devagar, sem calculadora): \n
  • Tempo no primeiro trecho: \displaystyle t_1 = \frac{60\\ \text{km}}{30\\ \text{km}/\text{h}}. Dividindo, \displaystyle t_1 = 2\\ \text{h}. \n
    Explicação: dividir distância por velocidade dá tempo; 60\div 30 = 2. \n
  • Tempo no segundo trecho: \displaystyle t_2 = \frac{20\\ \text{km}}{50\\ \text{km}/\text{h}}. Faço a divisão passo a passo: 20\div 50 = 0{,}4. Logo \displaystyle t_2 = 0{,}4\\ \text{h}. \n
    Se quiser em minutos: 0{,}4\\ \text{h} = 0{,}4\times 60\\ \text{min} = 24\\ \text{min}.

Passo 4

Calcular o tempo total: \n
\Delta t = t_1 + t_2 = 2\\ \text{h} + 0{,}4\\ \text{h} = 2{,}4\\ \text{h}.
Expliquei: some os tempos de cada trecho para obter o tempo total da viagem.

Passo 5

Calcular deslocamento total e distância total: \n
  • O carro seguiu no mesmo sentido, então o deslocamento total é \Delta x = 60\\ \text{km} + 20\\ \text{km} = 80\\ \text{km}. \n
  • A distância total percorrida também é 80\\ \text{km} (porque não houve volta nem movimento no sentido oposto). \n
    Portanto aqui deslocamento e distância coincidem numericamente.

Passo 6

Calcular a velocidade média vetorial usando a fórmula \displaystyle \bar{v}=\frac{\Delta x}{\Delta t}. Substituo os valores conhecidos: \n
\bar{v} = \frac{80\\ \text{km}}{2{,}4\\ \text{h}}.
Faço a conta sem calculadora de forma elegante: multiplico numerador e denominador por 10 para eliminar a vírgula,
\bar{v} = \frac{800}{24}\\ \text{km}/\text{h}.
Agora simplifico dividindo por 8:
\bar{v} = \frac{100}{3}\\ \text{km}/\text{h}.
Se preferir decimal aproximado, \displaystyle \frac{100}{3}\approx 33{,}33\\ \text{km}/\text{h} (repetindo).

Passo 7

Calcular a velocidade escalar média: \n
\bar{v}_{\text{esc}} = \frac{\text{distância total}}{\Delta t} = \frac{80\\ \text{km}}{2{,}4\\ \text{h}}.â
Isso é exatamente a mesma fração que no Passo 6, porque a distância total é igual ao deslocamento (mesmo sentido). Logo
\bar{v}_{\text{esc}} = \frac{100}{3}\\ \text{km}/\text{h}\approx 33{,}33\\ \text{km}/\text{h}.
Explicação conceitual: se o móvel não muda de sentido, a média vetorial e escalar coincidem.

Passo 8

Construção e interpretação do gráfico x(t) (explicação passo a passo para “desenhar” e usar o gráfico): \n
  • Ponto inicial: em t=0 temos x=0. \n
  • No final do primeiro trecho: em t=2\\ \text{h} (veja Passo 3) teremos x=60\\ \text{km}. Logo há um segmento retilíneo entre t=0 e t=2 com inclinação (declive) igual a 30\\ \text{km}/\text{h}. \n
  • No final do segundo trecho: em t=2{,}4\\ \text{h} teremos x=80\\ \text{km}. Então há um segundo segmento retilíneo entre t=2 e t=2{,}4 com inclinação 50\\ \text{km}/\text{h}. \n
    Como desenhar (mentalmente ou no papel): no eixo horizontal marque t em horas; no eixo vertical marque x em km; trace uma reta desde (t=0,x=0) até (t=2,x=60) com inclinação baixa (30); depois trace outra reta mais inclinada desde (t=2,x=60) até (t=2{,}4,x=80). \n
    Como a velocidade média aparece no gráfico: a velocidade média entre instantes t_a e t_b é exatamente a inclinação (declive) da reta secante que liga os pontos (t_a,x(t_a)) e (t_b,x(t_b)). Aqui, tomando t_a=0 e t_b=2{,}4 obtemos a secante entre (0,0) e (2{,}4,80). O declive é
\text{slope}=\frac{80-0}{2{,}4-0}=\frac{80}{2{,}4}=\frac{100}{3}\\ \text{km}/\text{h},
que coincide com o valor calculado nos passos anteriores. \n
Observação final: se o carro tivesse mudado de sentido (voltado), a área sob a curva ou a forma do gráfico mostraria isso e deslocamento e distância seriam diferentes — aí \bar{v} e \bar{v}_{\text{esc}} difeririam.

Resposta

(a) \displaystyle \bar{v}=\frac{100}{3}\\ \text{km}/\text{h}\approx 33{,}33\\ \text{km}/\text{h}.\n
(b) \displaystyle \bar{v}_{\text{esc}}=\frac{100}{3}\\ \text{km}/\text{h}\approx 33{,}33\\ \text{km}/\text{h}.\n
(c) Gráfico x(t): segmento retilíneo de t=0 a t=2\\ \text{h} indo de x=0 a x=60\\ \text{km} (inclinação 30\\ \text{km}/\text{h}), seguido de segmento retilíneo de t=2 a t=2{,}4\\ \text{h} indo de x=60 a x=80\\ \text{km} (inclinação 50\\ \text{km}/\text{h}). A velocidade média é o declive da secante entre (0,0) e (2{,}4,80): \displaystyle \frac{80}{2{,}4}=\frac{100}{3}\\ \text{km}/\text{h}.

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