Um automóvel viaja em uma estrada retilínea por 60 km a
. Em seguida, continuando no mesmo sentido, percorre outros 20 km a
. (a) Qual é a velocidade média do carro durante esse percurso de 80 km ? (Suponha que o carro está se movendo no sentido positivo do eixo x.) (b) Qual é a velocidade escalar média? (c) Desenhe o gráfico de
em função de
e mostre como calcular a velocidade média a partir do gráfico.
Passo 1
O enunciado dá um automóvel que percorre dois trechos em linha reta, no mesmo sentido (eixo
positivo). As informações são: \n
- Primeiro trecho: deslocamento
com velocidade constante . \n - Segundo trecho: deslocamento
com velocidade constante . \n
As perguntas são: \n
(a) Qual é a velocidade média do carro durante todo o percurso de? \n
(b) Qual é a velocidade escalar média (ou seja, a média das velocidades em valor absoluto)? \n
(c) Desenhar o gráficoem função de e mostrar como calcular a velocidade média a partir do gráfico. \n
Nada ainda está sendo calculado aqui — só listei os dados e o que se pede.
Passo 2
Vamos lembrar as definições importantes (explicando cada símbolo): \n
- Deslocamento total:
é a diferença entre a posição final e a inicial, em . \n - Tempo total:
é o tempo total gasto, em . \n - Velocidade média (vetorial):
. Aqui tem sinal e unidades . \n - Velocidade escalar média (também chamada de velocidade média em valor absoluto):
. Distância total é o comprimento do trajeto percorrido, sempre positivo. \n
Observação didática: se o móvel não muda de sentido, distância total = módulo do deslocamento, entãoe têm o mesmo valor numérico.
Passo 3
Calcular os tempos gastos em cada trecho (faça essa conta devagar, sem calculadora): \n
- Tempo no primeiro trecho:
Dividindo, \n
Explicação: dividir distância por velocidade dá tempo;. \n - Tempo no segundo trecho:
Faço a divisão passo a passo: . Logo \n
Se quiser em minutos:
Passo 4
Calcular o tempo total: \n
Expliquei: some os tempos de cada trecho para obter o tempo total da viagem.
Passo 5
Calcular deslocamento total e distância total: \n
- O carro seguiu no mesmo sentido, então o deslocamento total é
\n - A distância total percorrida também é
(porque não houve volta nem movimento no sentido oposto). \n
Portanto aqui deslocamento e distância coincidem numericamente.
Passo 6
Calcular a velocidade média vetorial usando a fórmula
. Substituo os valores conhecidos: \n
Faço a conta sem calculadora de forma elegante: multiplico numerador e denominador por
para eliminar a vírgula,
Agora simplifico dividindo por
:
Se preferir decimal aproximado,
(repetindo).
Passo 7
Calcular a velocidade escalar média: \n
Isso é exatamente a mesma fração que no Passo 6, porque a distância total é igual ao deslocamento (mesmo sentido). Logo
Explicação conceitual: se o móvel não muda de sentido, a média vetorial e escalar coincidem.
Passo 8
Construção e interpretação do gráfico
(explicação passo a passo para “desenhar” e usar o gráfico): \n
- Ponto inicial: em
temos . \n - No final do primeiro trecho: em
(veja Passo 3) teremos . Logo há um segmento retilíneo entre e com inclinação (declive) igual a . \n - No final do segundo trecho: em
teremos . Então há um segundo segmento retilíneo entre e com inclinação . \n
Como desenhar (mentalmente ou no papel): no eixo horizontal marqueem horas; no eixo vertical marque em km; trace uma reta desde até com inclinação baixa (30); depois trace outra reta mais inclinada desde até . \n
Como a velocidade média aparece no gráfico: a velocidade média entre instantese é exatamente a inclinação (declive) da reta secante que liga os pontos e . Aqui, tomando e obtemos a secante entre e . O declive é
que coincide com o valor calculado nos passos anteriores. \n
Observação final: se o carro tivesse mudado de sentido (voltado), a área sob a curva ou a forma do gráfico mostraria isso e deslocamento e distância seriam diferentes — aí e
difeririam.
Observação final: se o carro tivesse mudado de sentido (voltado), a área sob a curva ou a forma do gráfico mostraria isso e deslocamento e distância seriam diferentes — aí
Resposta
(a)
\n
(b) \n
(c) Gráfico : segmento retilíneo de
a
indo de
a
(inclinação
), seguido de segmento retilíneo de
a
indo de
a
(inclinação
). A velocidade média é o declive da secante entre
e
:
(b)
(c) Gráfico