Em \mathrm{t}_{1}=2,0 \mathrm{~s}, a aceleração de uma partícula em movimento circular uniforme no sentido anti-horário é \left(-4,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right) \hat{i}-\left(3,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right) \hat{j}. A partícula se move com velocidade escalar constante. Em \mathrm{t}_{2}=8,0 \mathrm{~s}, a aceleração é \left(-3,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right) \hat{i}+\left(4,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right) \hat{j}. (a) Qual a velocidade angular e (b) o raio da trajetória da partícula se a diferença t_{2}-t_{1} é menor que um período de rotação? (c) Qual o valor da velocidade tangencial da partícula?

Passo 1

O enunciado dá dois vetores aceleração em dois instantes distintos de tempo e pede três coisas. Vou listar com calma o que foi dado e o que se pede:
  • Dados:
    \vec a(t_1)=(-4,0\\ \text{m/s}^2)\,\hat{i}+(-3,0\\ \text{m/s}^2)\,\hat{j} em t_1=2{,}0\\ \text{s}.
    \vec a(t_2)=(-3,0\\ \text{m/s}^2)\,\hat{i}+(4{,}00\\ \text{m/s}^2)\,\hat{j} em t_2=8{,}0\\ \text{s}.
    A diferença de tempo é \Delta t = t_2-t_1 = 6{,}0\\ \text{s}, e foi afirmado que \Delta t é menor que o período da rotação.
  • O que o enunciado pede:
    (a) a velocidade angular \omega da partícula;
    (b) o raio R da trajetória;
    (c) a velocidade tangencial v da partícula.
Observação importante: a partícula descreve um movimento circular com velocidade escalar constante (movimento circular uniforme). A resolução começa a seguir a partir daqui.

Passo 2

Conceitos essenciais e relações que vamos usar (explicação didática, devagarinho):
  • Em movimento circular uniforme (MCU) a velocidade escalar v é constante mas a direção da velocidade muda. Isso gera uma aceleração chamada aceleração centrípeta (ou radial), que sempre aponta para o centro da circunferência.
  • A aceleração centrípeta tem magnitude relacionada a v, R e \omega pelas fórmulas:
    a = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R,
    onde
    \,a é a magnitude da aceleração centrípeta (em \text{m/s}^2),
    \,v é a velocidade tangencial (em \text{m/s}),
    \,R é o raio (em \text{m}),
    \,\omega é a velocidade angular (em \text{rad/s}).
  • Vetorialmente a aceleração centrípeta pode ser escrita como
    \vec a = -\omega^2 \vec r,
    ou seja, ela é proporcional ao vetor posição \vec r (apontando para o centro, daí o sinal negativo). Isso implica que à medida que a partícula gira com velocidade angular \omega, o vetor aceleração também gira com a mesma velocidade angular (apontando sempre para o centro). Logo, o ângulo que a aceleração faz entre dois instantes é igual ao ângulo girado pela partícula entre esses instantes.
  • Consequência prática: se calcularmos o ângulo \Delta\theta entre \vec a(t_1) e \vec a(t_2), então esse ângulo relaciona-se com \omega por
    \Delta\theta = \omega\,\Delta t,
    desde que \Delta t seja menor que o período (o enunciado garante isso), então não há ambiguidade de múltiplos de 2\pi.
  • Para obter \Delta\theta entre dois vetores usamos o produto escalar:
    \vec a_1\cdot\vec a_2 = |\vec a_1|\,|\vec a_2|\,\cos\Delta\theta.
    Assim \cos\Delta\theta = \dfrac{\vec a_1\cdot\vec a_2}{|\vec a_1|\,|\vec a_2|}. Vou aplicar isso aos vetores dados.

Passo 3

Calcular o produto escalar e os módulos dos vetores aceleração dados (etapa por etapa):
  • Escrever os vetores numericamente (peguei-os do enunciado):
    \vec a_1 = (-4{,}0,\,-3{,}0),\qquad \vec a_2 = (-3{,}0,\,+4{,}0).
  • Produto escalar:
    \vec a_1\cdot\vec a_2 = (-4{,}0)(-3{,}0)+(-3{,}0)(4{,}0)=12{,}0-12{,}0=0{,}0.
  • Módulos:
    |\vec a_1|=\sqrt{(-4{,}0)^2+(-3{,}0)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5{,}0\\ \text{m/s}^2,
|\vec a_2|=\sqrt{(-3{,}0)^2+(4{,}0)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5{,}0\\ \text{m/s}^2.
  • Como \vec a_1\cdot\vec a_2=0 e os módulos são positivos, temos \cos\Delta\theta = \frac{0}{5{,}0\cdot5{,}0}=0.Portanto \Delta\theta = \operatorname{arccos}(0)=\frac{\pi}{2}\\ \text{rad} \quad \text{(ou \(90^\circ\))}.
Interpretação: entre t_1 e t_2 o vetor aceleração (que aponta para o centro) girou \pi/2 rad.

Passo 4

Calcular a velocidade angular \omega usando \Delta\theta=\omega\,\Delta t:
  • Usamos \Delta t = 6{,}0\\ \text{s} e \Delta\theta=\pi/2. Logo
    \omega = \frac{\Delta\theta}{\Delta t} = \frac{\pi/2}{6{,}0} = \frac{\pi}{12}\\ \text{rad/s}.
  • Valor numérico aproximado (para controle):
    \omega \approx 0{,}261799\\ \text{rad/s} \approx 0{,}262\\ \text{rad/s}.

Passo 5

Calcular o raio R usando a relação entre magnitude da aceleração e \omega:
  • Já calculamos que a magnitude da aceleração é a=5{,}0\\ \text{m/s}^2.
  • Da relação \,a=\omega^2 R\, obtemos
    R=\frac{a}{\omega^2}.
  • Substituindo \omega=\pi/12:
    \omega^2=\left(\frac{\pi}{12}\right)^2=\frac{\pi^2}{144},
R=\frac{5{,}0}{\pi^2/144} = 5{,}0\cdot\frac{144}{\pi^2}=\frac{720}{\pi^2}\\ \text{m}.
  • Valor numérico: R \approx \frac{720}{9{,}8696}\approx 72{,}97\\ \text{m} \approx 73{,}0\\ \text{m}.

Passo 6

Calcular a velocidade tangencial v:
Há duas fórmulas equivalentes: v=\omega R ou v=a/\omega. Usarei v=a/\omega porque já tenho a e \omega:
  • Usando a=5{,}0\\ \text{m/s}^2 e \omega=\pi/12\\ \text{rad/s},
    v=\frac{a}{\omega}=\frac{5{,}0}{\pi/12} = \frac{5{,}0\cdot 12}{\pi}=\frac{60}{\pi}\\ \text{m/s}.
  • Valor numérico:
    v\approx\frac{60}{3{,}1416}\approx 19{,}0986\\ \text{m/s}\approx 19{,}10\\ \text{m/s}.
  • Confirmação rápida: v=\omega R=(\pi/12)\cdot(720/\pi^2)=60/\pi, bate certinho com a expressão acima.

Passo 7

Resumo final e incentivo: calculamos \Delta\theta usando produto escalar, depois \omega com \Delta\theta=\omega\Delta t, e então usamos a=\omega^2 R e v=a/\omega. Tudo se fecha bonitinho — até parece mágica, mas é só trigonometria e as fórmulas do MCU! Força aí na prova, você já tem o passo a passo para aplicar rápido.

Resposta

(a) \displaystyle \omega=\frac{\pi}{12}\\ \text{rad/s}\approx 0{,}262\\ \text{rad/s}
(b) \displaystyle R=\frac{720}{\pi^{2}}\\ \text{m}\approx 72{,}97\\ \text{m}
(c) \displaystyle v=\frac{60}{\pi}\\ \text{m/s}\approx 19{,}10\\ \text{m/s}

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