Em
, a aceleração de uma partícula em movimento circular uniforme no sentido anti-horário é
. A partícula se move com velocidade escalar constante. Em
, a aceleração é
. (a) Qual a velocidade angular e (b) o raio da trajetória da partícula se a diferença
é menor que um período de rotação? (c) Qual o valor da velocidade tangencial da partícula?
Passo 1
O enunciado dá dois vetores aceleração em dois instantes distintos de tempo e pede três coisas. Vou listar com calma o que foi dado e o que se pede:
-
Dados:
em .
em .
A diferença de tempo é, e foi afirmado que é menor que o período da rotação. -
O que o enunciado pede:
(a) a velocidade angularda partícula;
(b) o raioda trajetória;
(c) a velocidade tangencialda partícula.
Observação importante: a partícula descreve um movimento circular com velocidade escalar constante (movimento circular uniforme). A resolução começa a seguir a partir daqui.
Passo 2
Conceitos essenciais e relações que vamos usar (explicação didática, devagarinho):
-
Em movimento circular uniforme (MCU) a velocidade escalar
é constante mas a direção da velocidade muda. Isso gera uma aceleração chamada aceleração centrípeta (ou radial), que sempre aponta para o centro da circunferência. -
A aceleração centrípeta tem magnitude relacionada a
, e pelas fórmulas: onde
é a magnitude da aceleração centrípeta (em ),
é a velocidade tangencial (em ),
é o raio (em ),
é a velocidade angular (em ). -
Vetorialmente a aceleração centrípeta pode ser escrita comoou seja, ela é proporcional ao vetor posição
(apontando para o centro, daí o sinal negativo). Isso implica que à medida que a partícula gira com velocidade angular , o vetor aceleração também gira com a mesma velocidade angular (apontando sempre para o centro). Logo, o ângulo que a aceleração faz entre dois instantes é igual ao ângulo girado pela partícula entre esses instantes. -
Consequência prática: se calcularmos o ângulo
entre e , então esse ângulo relaciona-se com por desde queseja menor que o período (o enunciado garante isso), então não há ambiguidade de múltiplos de . -
Para obter
entre dois vetores usamos o produto escalar: Assim. Vou aplicar isso aos vetores dados.
Passo 3
Calcular o produto escalar e os módulos dos vetores aceleração dados (etapa por etapa):
-
Escrever os vetores numericamente (peguei-os do enunciado):
-
Produto escalar:
-
Módulos:
- Como
e os módulos são positivos, temos Portanto
Interpretação: entre
e
o vetor aceleração (que aponta para o centro) girou
rad.
Passo 4
Calcular a velocidade angular
usando
:
-
Usamos
e . Logo -
Valor numérico aproximado (para controle):
Passo 5
Calcular o raio
usando a relação entre magnitude da aceleração e
:
-
Já calculamos que a magnitude da aceleração é
. -
Da relação
obtemos -
Substituindo
:
- Valor numérico:
Passo 6
Calcular a velocidade tangencial
:
Há duas fórmulas equivalentes:
ou
. Usarei
porque já tenho
e
:
-
Usando
e , -
Valor numérico:
-
Confirmação rápida:
, bate certinho com a expressão acima.
Passo 7
Resumo final e incentivo: calculamos
usando produto escalar, depois
com
, e então usamos
e
. Tudo se fecha bonitinho — até parece mágica, mas é só trigonometria e as fórmulas do MCU! Força aí na prova, você já tem o passo a passo para aplicar rápido.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)