Suponha que um corpo de massa
tenha uma aceleração
a
com o semi eixo
positivo. Nessas condições, determine:
(a) a componente
da força resultante a que o corpo está submetido;
(b) a componente
da força resultante a que o corpo está submetido;
(c) o módulo da força resultante;
(d) a força resultante em termos dos vetores unitários.
(a) a componente
(b) a componente
(c) o módulo da força resultante;
(d) a força resultante em termos dos vetores unitários.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as grandezas indicadas. Listei-as para ficar bem claro o que já temos e o que precisa ser encontrado:
- Massa do corpo:
. - Módulo da aceleração:
. - Direção da aceleração: a aceleração forma um ângulo de
com o semi-eixo positivo (ou seja, o vetor aceleração está no primeiro quadrante, a a partir do eixo em direção ao eixo ). - Pedidos:
(a) a componenteda força resultante, isto é ;
(b) a componenteda força resultante, isto é ;
(c) o módulo da força resultante, isto é;
(d) a força resultante escrita em termos dos vetores unitários, isto é.
Passo 2
Princípio físico que vamos usar (aulas rápidas): a Segunda Lei de Newton diz que a força resultante sobre um corpo é igual à massa vezes a sua aceleração. Em fórmula:
Aqui
é o vetor força resultante,
é a massa (um escalar) e
é o vetor aceleração. Isso vale componente a componente, isto é:
onde
e
são as componentes da aceleração nas direções
e
.
Passo 3
Como obter as componentes da aceleração (aula rápida de trigonometria aplicada a vetores): temos o vetor aceleração de módulo
que faz um ângulo de
com o eixo
positivo. Para decompor um vetor quando o ângulo é dado em relação ao eixo
, podemos usar as razões trigonométricas no triângulo retângulo formado pelas componentes:
- a componente ao longo de
é a projeção de no eixo . Como o ângulo é medido a partir do eixo , essa projeção é dada por . - a componente ao longo de
é o cateto oposto ao ângulo , logo .
Portanto, com
:
Lembrando valores trigonométricos básicos:
Passo 4
Calculemos as componentes numéricas da aceleração substituindo
e os valores trigonométricos:
Observação: ambas as componentes são positivas porque o vetor está no primeiro quadrante (entre os eixos
e
).
Passo 5
Agora aplicamos a Segunda Lei componente a componente para obter as componentes da força resultante. Como
:
Expliquei cada passo: multipliquei a massa pela componente correspondente da aceleração.
Passo 6
Cálculo do módulo da força resultante (duas formas que dão a mesma resposta — é bom saber ambas e checar):
- Forma direta pela norma do vetor força:
. Substituindo:
- Forma a partir de
e : . As duas formas conferem, o que é um bom check.
Passo 7
Expressão vetorial final em termos dos vetores unitários
(direção
) e
(direção
). Usando os valores calculados:
Isso significa que a força tem componentes
na direção
e
na direção
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)