Suponha que um corpo de massa m=2 \mathrm{~kg} tenha uma aceleração a=4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} a 30^{\circ} com o semi eixo y positivo. Nessas condições, determine:
(a) a componente x da força resultante a que o corpo está submetido;
(b) a componente y da força resultante a que o corpo está submetido;
(c) o módulo da força resultante;
(d) a força resultante em termos dos vetores unitários.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as grandezas indicadas. Listei-as para ficar bem claro o que já temos e o que precisa ser encontrado:
  • Massa do corpo: m=2\\ \mathrm{kg}.
  • Módulo da aceleração: a=4\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Direção da aceleração: a aceleração forma um ângulo de 30^\circ com o semi-eixo y positivo (ou seja, o vetor aceleração está no primeiro quadrante, a 30^\circ a partir do eixo y em direção ao eixo x).
  • Pedidos:
    (a) a componente x da força resultante, isto é F_x;
    (b) a componente y da força resultante, isto é F_y;
    (c) o módulo da força resultante, isto é |\mathbf{F}|;
    (d) a força resultante escrita em termos dos vetores unitários, isto é \mathbf{F}=F_x\hat{\imath}+F_y\hat{\jmath}.

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (aulas rápidas): a Segunda Lei de Newton diz que a força resultante sobre um corpo é igual à massa vezes a sua aceleração. Em fórmula:
\mathbf{F} = m\,\mathbf{a}.
Aqui \mathbf{F} é o vetor força resultante, m é a massa (um escalar) e \mathbf{a} é o vetor aceleração. Isso vale componente a componente, isto é:
F_x = m\,a_x,\qquad F_y = m\,a_y,
onde a_x e a_y são as componentes da aceleração nas direções x e y.

Passo 3

Como obter as componentes da aceleração (aula rápida de trigonometria aplicada a vetores): temos o vetor aceleração de módulo a que faz um ângulo de 30^\circ com o eixo y positivo. Para decompor um vetor quando o ângulo é dado em relação ao eixo y, podemos usar as razões trigonométricas no triângulo retângulo formado pelas componentes:
  • a componente ao longo de y é a projeção de a no eixo y. Como o ângulo \theta é medido a partir do eixo y, essa projeção é dada por a_y = a\cos\theta.
  • a componente ao longo de x é o cateto oposto ao ângulo \theta, logo a_x = a\sin\theta.
Portanto, com \theta=30^\circ:
a_x = a\sin 30^\circ,\qquad a_y = a\cos 30^\circ.
Lembrando valores trigonométricos básicos:
\sin 30^\circ = \tfrac{1}{2},\qquad \cos 30^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 4

Calculemos as componentes numéricas da aceleração substituindo a=4\\ \mathrm{m/s^{2}} e os valores trigonométricos:
a_x = 4\cdot\sin 30^\circ = 4\cdot\tfrac{1}{2} = 2\\ \mathrm{m/s^{2}},
a_y = 4\cdot\cos 30^\circ = 4\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Observação: ambas as componentes são positivas porque o vetor está no primeiro quadrante (entre os eixos +y e +x).

Passo 5

Agora aplicamos a Segunda Lei componente a componente para obter as componentes da força resultante. Como m=2\\ \mathrm{kg}:
F_x = m\,a_x = 2\cdot 2 = 4\\ \mathrm{N},
F_y = m\,a_y = 2\cdot (2\sqrt{3}) = 4\sqrt{3}\\ \mathrm{N}.
Expliquei cada passo: multipliquei a massa pela componente correspondente da aceleração.

Passo 6

Cálculo do módulo da força resultante (duas formas que dão a mesma resposta — é bom saber ambas e checar):
  1. Forma direta pela norma do vetor força: |\mathbf{F}|=\sqrt{F_x^2+F_y^2}. Substituindo:
|\mathbf{F}|=\sqrt{4^{2} + (4\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{16 + 16\cdot 3}=\sqrt{16+48}=\sqrt{64}=8\\ \mathrm{N}.
  1. Forma a partir de m e a: |\mathbf{F}| = m\,a = 2\cdot 4 = 8\\ \mathrm{N}. As duas formas conferem, o que é um bom check.

Passo 7

Expressão vetorial final em termos dos vetores unitários \hat{\imath} (direção x) e \hat{\jmath} (direção y). Usando os valores calculados:
\mathbf{F} = F_x\,\hat{\imath} + F_y\,\hat{\jmath} = 4\,\hat{\imath} + 4\sqrt{3}\,\hat{\jmath}\\ \mathrm{N}.
Isso significa que a força tem componentes 4\\ \mathrm{N} na direção +x e 4\sqrt{3}\\ \mathrm{N} na direção +y.

Resposta

(a) F_x = 4\\ \mathrm{N}
(b) F_y = 4\sqrt{3}\\ \mathrm{N}
(c) |\mathbf{F}| = 8\\ \mathrm{N}
(d) \mathbf{F} = 4\,\hat{\imath} + 4\sqrt{3}\,\hat{\jmath}\\ \mathrm{N}

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