O autor dirigiu 1.163 milhas para uma conferência em Orlando, Flórida. Para a viagem de ida, o autor parou à noite para dormir, e a velocidade média do início ao fim foi de 38 \mathrm{mi} / \mathrm{h}. Para a viagem de retorno, o autor parou apenas para comer e abastecer, e a velocidade média do início ao fim foi de 56 \mathrm{mi} / \mathrm{h}. A velocidade média real para a viagem inteira (ida e volta) pode ser calculada pela média de 38 \mathrm{mi} / \mathrm{h} e 56 \mathrm{mi} / \mathrm{h} ? Por quê? Qual é a média harmônica de 38 \mathrm{mi} / \mathrm{h} e 56 \mathrm{mi} / \mathrm{h}, e isso representa a verdadeira velocidade média da viagem?

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que ele pergunta:
  • Distância de ida (uma perna): d=1163 milhas (assumindo que o enunciado quis dizer mil e cento e sessenta e três milhas).
  • Velocidade média na ida: v_1 = 38\\ \mathrm{mi/h}.
  • Velocidade média na volta: v_2 = 56\\ \mathrm{mi/h}.
  • Perguntas:
    1. A velocidade média total (ida + volta) pode ser calculada pela média aritmética de 38 e 56 ? Por quê?
    2. Qual é a média harmônica de 38 e 56, e essa média harmônica representa a verdadeira velocidade média da viagem?

Passo 2

Conceito importante: o que é “velocidade média” em um trajeto com duas partes?
  • A velocidade média real para toda a viagem é definida como
\text{velocidade média}=\frac{\text{distância total}}{\text{tempo total}}.éâ
  • Se a viagem tem duas pernas de mesma distância d com velocidades médias v_1 e v_2, então:
    • tempo da primeira perna: t_1=\dfrac{d}{v_1};
    • tempo da segunda perna: t_2=\dfrac{d}{v_2}.
  • Distância total: D= d+d = 2d.
  • Tempo total: T=t_1+t_2 = d\!\left(\dfrac{1}{v_1}+\dfrac{1}{v_2}\right).
  • Portanto a velocidade média total é
\bar v = \frac{D}{T} = \frac{2d}{d\!\left(\dfrac{1}{v_1}+\dfrac{1}{v_2}\right)} = \frac{2}{\dfrac{1}{v_1}+\dfrac{1}{v_2}}.
  • Observação chave (motivo pelo qual a média aritmética falha): a média aritmética \dfrac{v_1+v_2}{2} pondera as velocidades por tempo igual; mas aqui as duas pernas têm distância igual, não tempo igual. Como o tempo gasto em cada perna é diferente, a média aritmética não reflete corretamente a razão distância/tempo.

Passo 3

Calcular explicitamente a média aritmética e mostrar que ela não coincide com a velocidade média real:
  • Média aritmética:
\text{média aritmética}=\frac{v_1+v_2}{2}=\frac{38+56}{2}=\frac{94}{2}=47\\ \mathrm{mi/h}.éé
  • Isso seria correto somente se o autor tivesse passado o mesmo tempo indo e voltando com cada velocidade (ou seja, se as duas velocidades tivessem sido mantidas pelo mesmo intervalo de tempo). Mas não é o caso: as pernas têm mesma distância, e a perna mais lenta consome mais tempo, influenciando mais a média real. Logo, a média aritmética não é a velocidade média correta.

Passo 4

Derivar e calcular a média harmônica (que é a fórmula já obtida para \bar v):
  • A média harmônica de duas velocidades v_1 e v_2 é definida por
H = \frac{2}{\dfrac{1}{v_1}+\dfrac{1}{v_2}}.
  • Substituindo v_1=38 e v_2=56:
    • Calcular primeiro \dfrac{1}{38}+\dfrac{1}{56}. O denominador comum é 38\cdot56=2128.
\frac{1}{38}+\frac{1}{56}=\frac{56}{2128}+\frac{38}{2128}=\frac{94}{2128}=\frac{47}{1064}.
  • Então
H = \frac{2}{\dfrac{47}{1064}} = 2\cdot\frac{1064}{47} = \frac{2128}{47}.
  • Valor numérico aproximado:
\frac{2128}{47}\approx 45,2766\\ \mathrm{mi/h}.
(uso vírgula como separador decimal em conformidade com a notação do enunciado.)

Passo 5

Mostrar que a média harmônica coincide com a velocidade média real da viagem:
  • Usando a fórmula do Passo 2 para \bar v (distância total sobre tempo total) com d=1163:
    • tempos: t_1=\dfrac{1163}{38}, t_2=\dfrac{1163}{56};
    • tempo total: T=1163\!\left(\dfrac{1}{38}+\dfrac{1}{56}\right)=1163\cdot\dfrac{47}{1064}=\dfrac{1163\cdot47}{1064};
    • distância total: 2d=2326.
\bar v=\frac{2326}{\dfrac{1163\cdot47}{1064}} = \frac{2326\cdot1064}{1163\cdot47}.
  • Simplificando 2326=2\cdot1163 cancela com 1163, restando exatamente
\bar v = \frac{2\cdot1064}{47}=\frac{2128}{47},
o mesmo valor que calculamos para H. Portanto a média harmônica é exatamente a velocidade média real quando as duas pernas têm a mesma distância.

Passo 6

Interpretação final e conclusão prática (amigo estilo incentivo):
  • Resumindo com clareza: Não, não se deve usar a média aritmética de 38 e 56 para obter a velocidade média total, porque as duas pernas têm igual distância, não igual tempo — a perna mais lenta pesa mais no tempo total.
  • A média correta é a média harmônica, que para estes valores é \dfrac{2128}{47}\approx 45,2766\\ \mathrm{mi/h}.
  • Dica de prova: quando um trajeto for ida e volta com mesma distância em cada perna, sempre pense em “distância total dividido por tempo total” e lembre-se que isso leva à média harmônica das velocidades das pernas.

Resposta

Não — a média aritmética não é a velocidade média correta, porque as pernas têm mesma distância e tempos diferentes.
A média harmônica é \dfrac{2128}{47}\approx 45,2766\\ \mathrm{mi/h}, e sim, essa média harmônica representa a verdadeira velocidade média da viagem.

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