O autor dirigiu 1.163 milhas para uma conferência em Orlando, Flórida. Para a viagem de ida, o autor parou à noite para dormir, e a velocidade média do início ao fim foi de
. Para a viagem de retorno, o autor parou apenas para comer e abastecer, e a velocidade média do início ao fim foi de
. A velocidade média real para a viagem inteira (ida e volta) pode ser calculada pela média de
e
? Por quê? Qual é a média harmônica de
e
, e isso representa a verdadeira velocidade média da viagem?
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que ele pergunta:
- Distância de ida (uma perna):
milhas (assumindo que o enunciado quis dizer mil e cento e sessenta e três milhas). - Velocidade média na ida:
. - Velocidade média na volta:
. - Perguntas:
- A velocidade média total (ida + volta) pode ser calculada pela média aritmética de
e ? Por quê? - Qual é a média harmônica de
e , e essa média harmônica representa a verdadeira velocidade média da viagem?
- A velocidade média total (ida + volta) pode ser calculada pela média aritmética de
Passo 2
Conceito importante: o que é “velocidade média” em um trajeto com duas partes?
- A velocidade média real para toda a viagem é definida como
- Se a viagem tem duas pernas de mesma distância
com velocidades médias e , então: - tempo da primeira perna:
; - tempo da segunda perna:
.
- tempo da primeira perna:
- Distância total:
. - Tempo total:
. - Portanto a velocidade média total é
- Observação chave (motivo pelo qual a média aritmética falha): a média aritmética
pondera as velocidades por tempo igual; mas aqui as duas pernas têm distância igual, não tempo igual. Como o tempo gasto em cada perna é diferente, a média aritmética não reflete corretamente a razão distância/tempo.
Passo 3
Calcular explicitamente a média aritmética e mostrar que ela não coincide com a velocidade média real:
- Média aritmética:
- Isso seria correto somente se o autor tivesse passado o mesmo tempo indo e voltando com cada velocidade (ou seja, se as duas velocidades tivessem sido mantidas pelo mesmo intervalo de tempo). Mas não é o caso: as pernas têm mesma distância, e a perna mais lenta consome mais tempo, influenciando mais a média real. Logo, a média aritmética não é a velocidade média correta.
Passo 4
Derivar e calcular a média harmônica (que é a fórmula já obtida para
):
- A média harmônica de duas velocidades
e é definida por
- Substituindo
e : - Calcular primeiro
. O denominador comum é .
- Calcular primeiro
- Então
- Valor numérico aproximado:
(uso vírgula como separador decimal em conformidade com a notação do enunciado.)
Passo 5
Mostrar que a média harmônica coincide com a velocidade média real da viagem:
- Usando a fórmula do Passo 2 para
(distância total sobre tempo total) com : - tempos:
, ; - tempo total:
; - distância total:
.
- tempos:
- Simplificando
cancela com , restando exatamente
o mesmo valor que calculamos para
. Portanto a média harmônica é exatamente a velocidade média real quando as duas pernas têm a mesma distância.
Passo 6
Interpretação final e conclusão prática (amigo estilo incentivo):
- Resumindo com clareza: Não, não se deve usar a média aritmética de
e para obter a velocidade média total, porque as duas pernas têm igual distância, não igual tempo — a perna mais lenta pesa mais no tempo total. - A média correta é a média harmônica, que para estes valores é
. - Dica de prova: quando um trajeto for ida e volta com mesma distância em cada perna, sempre pense em “distância total dividido por tempo total” e lembre-se que isso leva à média harmônica das velocidades das pernas.
Resposta
Não — a média aritmética não é a velocidade média correta, porque as pernas têm mesma distância e tempos diferentes.
A média harmônica é , e sim, essa média harmônica representa a verdadeira velocidade média da viagem.
A média harmônica é