Uma prova de estatística foi aplicada com pontuação de 0 a 10 pontos, sendo que a média das notas de todos os alunos de uma turma foi de 5,8 pontos. Se a média das mulheres é 6,3 pontos e a dos rapazes é 4,3 pontos, então qual a porcentagem de mulheres na turma?

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados:
  • Pontuação varia de 0 a 10 (informação geral).
  • Média da turma: \bar{x}_{\text{turma}} = 5,8.
  • Média das mulheres: \bar{x}_{\text{mulheres}} = 6,3.
  • Média dos rapazes: \bar{x}_{\text{rapazes}} = 4,3.
O que se pede: determinar a porcentagem de mulheres na turma (ou seja, a fração de alunos que são mulheres expressa em porcentagem).

Passo 2

Entendendo o conceito usado: a média total de uma turma é uma média ponderada das médias dos subgrupos (mulheres e rapazes). Se p é a fração (proporção) de mulheres na turma, então a fração de rapazes é 1-p. A média total é a soma das médias de cada subgrupo ponderada por suas frações:
\bar{x}_{\text{turma}} = p\cdot\bar{x}_{\text{mulheres}} + (1-p)\cdot\bar{x}_{\text{rapazes}}.
Explicando de forma simples: cada média de subgrupo contribui para a média geral na proporção em que esse subgrupo aparece na turma.

Passo 3

Agora substituímos os valores dados na fórmula:
5,8 = p\cdot 6,3 + (1-p)\cdot 4,3.

Passo 4

Desenvolvendo o lado direito:
5,8 = 6,3p + 4,3 - 4,3p.
Agrupando os termos em p:
5,8 = 4,3 + (6,3-4,3)p.

Passo 5

Calcule a diferença dentro do parêntese e isole p:
6,3-4,3 = 2,0,
logo
5,8 = 4,3 + 2,0\,p.
Subtraindo 4,3 de ambos os lados:
5,8-4,3 = 2,0\,p \quad\Rightarrow\quad 1,5 = 2,0\,p.

Passo 6

Resolva para p:
p = \frac{1,5}{2,0} = 0,75.

Passo 7

Converta a fração em porcentagem multiplicando por 100\%:
0,75 = 75\%.

Passo 8

Cheque rápido (para ganhar confiança): suponha uma turma com 100 alunos. Se 75 forem mulheres com média 6,3 a soma das notas delas é 75\cdot 6,3 = 472,5. Se 25 forem rapazes com média 4,3 a soma é 25\cdot 4,3 = 107,5. Soma total 472,5+107,5=580. Dividindo por 100 alunos dá média 5,8, que confere com o enunciado.

Resposta

75\%

Exercícios relacionados