Uma prova de estatística foi aplicada com pontuação de 0 a 10 pontos, sendo que a média das notas de todos os alunos de uma turma foi de 5,8 pontos. Se a média das mulheres é 6,3 pontos e a dos rapazes é 4,3 pontos, então qual a porcentagem de mulheres na turma?
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados:
- Pontuação varia de
a (informação geral). - Média da turma:
. - Média das mulheres:
. - Média dos rapazes:
.
O que se pede: determinar a porcentagem de mulheres na turma (ou seja, a fração de alunos que são mulheres expressa em porcentagem).
Passo 2
Entendendo o conceito usado: a média total de uma turma é uma média ponderada das médias dos subgrupos (mulheres e rapazes). Se
é a fração (proporção) de mulheres na turma, então a fração de rapazes é
. A média total é a soma das médias de cada subgrupo ponderada por suas frações:
Explicando de forma simples: cada média de subgrupo contribui para a média geral na proporção em que esse subgrupo aparece na turma.
Passo 3
Agora substituímos os valores dados na fórmula:
Passo 4
Desenvolvendo o lado direito:
Agrupando os termos em
:
Passo 5
Calcule a diferença dentro do parêntese e isole
:
logo
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 6
Resolva para
:
Passo 7
Converta a fração em porcentagem multiplicando por
:
Passo 8
Cheque rápido (para ganhar confiança): suponha uma turma com
alunos. Se
forem mulheres com média
a soma das notas delas é
. Se
forem rapazes com média
a soma é
. Soma total
. Dividindo por
alunos dá média
, que confere com o enunciado.