Num autorama, dois carros percorrem duas pistas circulares concêntricas em movimento circular uniforme (MCU). Verifica-se que esses carros passam um pelo outro a cada 30 s , quando se movem no mesmo sentido, e a cada 10 s , ao se moverem em sentidos opostos. Determine o período de cada carro.

Passo 1

Então, o enunciado diz que dois carrinhos andam em pistas circulares concêntricas em movimento circular uniforme (MCU). Quando eles vão no mesmo sentido, um “ultrapassa” o outro a cada 30 s; no sentido oposto, isso acontece a cada 10 s. O que precisamos achar são os períodos de cada carrinho. Pra resolver, vamos usar conceitos de MCU: período ( T), frequência ( f=tfrac1T), velocidade angular ( omega=2pi f) e movimento relativo.

Passo 2

Vamos definir:
T1 e T2 são os períodos dos carrinhos 1 e 2.
f1=1T1 e f2=1T2 são as frequências.
omega1=2pi f1=2piT1 e omega2=2pi f2=2piT2 são as velocidades angulares.
Tudo isso vem da ideia básica de MCU: cada carrinho dá uma volta (ângulo 2pi) em tempo T, percorre f voltas por segundo, e gira com velocidade omega.

Passo 3

No mesmo sentido, a “volta relativa” que faz os dois se encontrarem vale 2pi e leva 30 s. Logo
|omega1-omega2|=2pi30Longrightarrow|f1-f2|=130
Como um carrinho é mais rápido, vou supor f1>f2 e escrever
f1 - f2 = 130(1)

Passo 4

No sentido oposto, as velocidades angulares se somam, e essa volta relativa de 2pi leva 10 s:
omega1+omega2=2pi10Longrightarrow f1+f2=110(2)

Passo 5

Agora resolvemos o sistema
(1) f1 - f2 = tfrac130
(2) f1 + f2 = tfrac110.
Somando as duas equações:
2f1 = 130 + 110 = 130 + 330 = 430;;Longrightarrow;;f1 = 230 = 115
Depois, de (1):
f2 = f1 - 130 = 115 - 130 = 230 - 130 = 130

Passo 6

Pra terminar, voltamos aos períodos:
T1 = 1f1 = 15 s, T2 = 1f2 = 30 s

Resposta

T1 = 15 s e T2 = 30 s.

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