Autovalores e Autovetores
a) Determine os autovalores e os autovetores associados ao seguinte operador:
A=[ccc 5 & -2 & -4 -2 & 2 & 2 -4 & 2 & 5 ]
b) Verifique se os autovetores são ortogonais.

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores do operador
A = 5 & -2 & -4 -2 & 2 & 2 -4 & 2 & 5
Isso pertence ao conteúdo de autovalores de matrizes simétricas. Vamos obter o polinômio característico det(A - lambda I) e resolver para lambda; em seguida achamos as soluções de (A - lambda I)v=0.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico:
det(A - lambda I) = det 5-lambda & -2 & -4 -2 & 2-lambda & 2 -4 & 2 & 5-lambda
Expansão por cofactores na primeira linha dá
(5-lambda)l((2-lambda)(5-lambda)-2cdot2r) -(-2)l((-2)(5-lambda)-2cdot(-4)r) -4l((-2)cdot2-(2-lambda)(-4)r)
Fazendo as contas simplifica para
(lambda-10)(lambda-1)^2 =0

Passo 3

As raízes do polinômio são
lambda1 = 10, lambda2 = 1(mu<iplicidade 2)

Passo 4

Para resolvemos , isto é
Das equações vem e , levando a e . Escolhendo fica um autovetor

Passo 5

Para resolvemos , i.e.
De obtemos . Logo o espaço próprio é
Podemos escolher dois autovetores independentes

Passo 6

Verificamos ortogonalidade calculando produto interno usual em R^3:
(v^(10))cdot v^(1)1 = 2cdot1 +(-1)cdot2 +(-2)cdot0 = 0,
(v^(10))cdot v^(1)2 = 2cdot0 +(-1)cdot(-2) +(-2)cdot1 = 0,
mas
v^(1)1cdot v^(1)2 = 1cdot0 + 2cdot(-2) +0cdot1 = -4 neq 0
Logo, o autovetor de lambda=10 é ortogonal aos de lambda=1, mas os dois escolhidos em lambda=1 não são mutuamente ortogonais. Como A é simétrica pode-se aplicar Gram–Schmidt para torná-los ortogonais.

Resposta

(a) Os autovalores são lambda1=10 (multiplicidade 1) e lambda2=1 (multiplicidade 2). Autovetores correspondentes:
lambda=10: v^(10)=(2,-1,-2)^T,
lambda=1: v^(1)1=(1,2,0)^T, v^(1)2=(0,-2,1)^T
(b) De fato (2,-1,-2) é ortogonal aos dois de lambda=1, mas os dois vetores do espaço próprio de lambda=1 não se mostram ortogonais entre si (produto interno -4).

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