Autovalores e Autovetores
a) Determine os autovalores e os autovetores associados ao seguinte operador:
b) Verifique se os autovetores são ortogonais.
Passo 1
O enunciado pede os autovalores e autovetores do operador
A = 5 & -2 & -4 -2 & 2 & 2 -4 & 2 & 5
Isso pertence ao conteúdo de autovalores de matrizes simétricas. Vamos obter o polinômio característico det(A - lambda I) e resolver para lambda; em seguida achamos as soluções de (A - lambda I)v=0.
Logo, o autovetor de lambda=10 é ortogonal aos de lambda=1, mas os dois escolhidos em lambda=1 não são mutuamente ortogonais. Como A é simétrica pode-se aplicar Gram–Schmidt para torná-los ortogonais.
Resposta
(a) Os autovalores são lambda1=10 (multiplicidade 1) e lambda2=1 (multiplicidade 2). Autovetores correspondentes:
lambda=10: v^(10)=(2,-1,-2)^T,
lambda=1: v^(1)1=(1,2,0)^T, v^(1)2=(0,-2,1)^T
(b) De fato (2,-1,-2) é ortogonal aos dois de lambda=1, mas os dois vetores do espaço próprio de lambda=1 não se mostram ortogonais entre si (produto interno -4).