Q3 - Mecânica Quântica

Considere que uma partícula é descrita pela seguinte função de onda:
& psi(x)=A x e^-alpha x para x>0 & psi(x)=0 para x <= 0
a) Encontre a constante de normalização A;
b) Para qual valor de x a densidade de probabilidade P(x)=|psi|^2 possui um pico?
c) Qual é a probabilidade de encontrar a partícula entre x=0 e x=1 / alpha ?

Passo 1

O enunciado diz que a função de onda é
psi(x)= A,x,e^-alpha x,&x>0, 0,&x<=0,
e pede (a) a normalização de psi, (b) o valor de x onde a densidade de probabilidade P(x)=|psi(x)|^2 atinge máximo, e (c) a probabilidade de encontrar a partícula em 0<= x<=1/alpha. Vamos usar integração de funções do tipo x^2e^-2alpha x e derivadas para máximo.

Passo 2

Para normalizar, exigimos
integral-infty^infty|psi(x)|^2,dx =integral0^infty|A|^2x^2e^-2alpha x,dx =1
Sabemos que
integral0^inftyx^2e^-2alpha x,dx =2(2alpha)^3 =14alpha^3
Logo
|A|^214alpha^3=1 Longrightarrow |A|^2=4alpha^3
Escolhendo A real e positivo,
A=2,alpha^3/2

Passo 3

A densidade é
P(x)=|psi(x)|^2 =A^2x^2e^-2alpha x
Para achar o pico, derivamos ln P(x)=ln(A^2)+2ln x-2alpha x e igualamos a zero:
ddxln P =2x-2alpha=0 Longrightarrow x=1alpha

Passo 4

A probabilidade em 0<= x<=1/alpha é
integral0^1/alpha|psi(x)|^2,dx =4alpha^3integral0^1/alphax^2e^-2alpha x,dx
Usando a primitiva
integral x^2e^-2alpha xdx =-e^-2alpha xl(x^22alpha+2x(2alpha)^2+2(2alpha)^3r),
avaliamos de 0 a 1/alpha e obtemos
integral0^1/alphax^2e^-2alpha xdx =1-5e^-24alpha^3
Multiplicando por 4alpha^3 vem
integral0^1/alpha|psi|^2dx =1-5e^-2approx0,3235

Resposta

a) A=2,alpha^3/2
b) O pico de P(x) ocorre em x=1/alpha
c) P(0<= x<=1/alpha)=1-5e^-2approx0,3235

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