Q2- Autovalores e Autovetores

Determine os autovalores e os autovetores (normalizados) associados ao seguinte operador:
A=[ccc 3 & 0 & 0 0 & 3 & 2 0 & -1 & 0 ]

Passo 1

O enunciado pede para achar os autovalores e os autovetores normalizados de
A = 3 & 0 & 0 0 & 3 & 2 0 & -1 & 0
O conteúdo envolve: cálculo do polinômio característico det(hat A - lambda I)=0, solução para lambda, e em seguida resolver (hat A - lambda I),v=0 para cada lambda, normalizando depois cada vetor.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico. Note que A é bloco-diagonal com bloco 1times 1 = [3] e bloco 2times 2 = 3 & 2 -1 & 0. Logo
det(A - lambda I) = (3 - lambda),det!3 - lambda & 2 [-6pt] -1 & -lambda
E
det!3 - lambda & 2 [-3pt] -1 & -lambda = (3 - lambda)(-lambda) - (-1) cdot 2 = -lambda(3 - lambda) + 2 = lambda^2 - 3lambda + 2 ]

Passo 3

Resolvendo
(3-lambda),(lambda^2-3lambda+2)=0 Longrightarrow 3-lambda=0 ou lambda^2-3lambda+2=0
Da segunda parte vem lambda^2-3lambda+2=(lambda-1)(lambda-2)=0. Portanto
lambda1=3, lambda2=2, lambda3=1

Passo 4

Para resolvemos , ou seja
As duas últimas linhas dão e , logo e é livre. Tomamos .

Passo 5

Para resolvemos , ou seja
Da primeira linha . Da segunda . A terceira é redundante. Tomamos , obtendo .

Passo 6

Para resolvemos , ou seja
Da primeira linha . Da segunda . A terceira repete essa relação. Tomamos , obtendo .

Passo 7

Normalizamos cada vetor:
– Para lambda1=3, v^(1)=(1,0,0) já tem norma 1.
– Para lambda2=2, |v^(2)|=raiz0^2+(-2)^2+1^2=raiz5, logo
tilde v^(2)=1raiz5,(0,-2,1)
– Para lambda3=1, |v^(3)|=raiz0^2+(-1)^2+1^2=raiz2, logo
tilde v^(3)=1raiz2,(0,-1,1)

Resposta

Para lambda=3:
v=100
Para lambda=2:
v=1raiz50-21
Para lambda=1:
v=1raiz20-11

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