Q1- Números complexos
Sendo z=3+4 i2+i, calcule z barz.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
z barz
sendo
z = 3 + 4i2 + i
Isso envolve divisão de números complexos (racionalizar o denominador) e depois usar a definição de conjugado para achar z barz, que é lvert zrvert^2.

Passo 2

Racionalizamos o denominador multiplicando numerador e denominador por 2 + i = 2 - i:
z = 3 + 4i2 + i times 2 - i2 - i = (3 + 4i)(2 - i)(2 + i)(2 - i)

Passo 3

Calculamos o denominador e o numerador separadamente.
Denominador:
(2 + i)(2 - i) = 2^2 - i^2 = 4 - (-1) = 5
Numerador:
(3 + 4i)(2 - i) = 3cdot 2 + 3cdot(-i) + 4icdot 2 + 4icdot(-i) = 6 - 3i + 8i - 4i^2 = 6 + 5i - 4(-1) = 6 + 5i + 4 = 10 + 5i

Passo 4

Logo,
z = 10 + 5i5 = 2 + i

Passo 5

Usando z = 2 + i, o conjugado é barz = 2 - i. Então
z barz = (2 + i)(2 - i) = 2^2 - i^2 = 4 - (-1) = 5

Resposta

5

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