Um autovetor associado ao autovalor \lambda=2 da matriz B é:
(a) (1,0,0)
(b) (0,1,0)
(c) (0,0,1)
(d) (1,1,1)
(e) (0,1,1)
Passo 1
O enunciado dá uma pergunta de múltipla escolha: “Um autovetor associado ao autovalor \lambda=2 da matriz B é:” e apresenta as alternativas
(a) \,(1,0,0)
(b) \,(0,1,0)
(c) \,(0,0,1)
(d) \,(1,1,1)
(e) \,(0,1,1)
Informações relevantes fornecidas:
O autovalor de interesse é \lambda=2.
As opções são vetores em \mathbb{R}^3.
A matriz B NÃO foi fornecida no enunciado.
Observação importante: sem conhecer a matriz B não há como calcular ou verificar qual das opções é, de fato, um autovetor associado a \lambda=2. Para determinar isso é necessário o conteúdo de B.
Passo 2
Definição e condição que usamos para identificar um autovetor associado a \lambda=2.
Um vetor v\in\mathbb{R}^3 é autovetor de B associado ao autovalor \lambda se e somente se
Bv=\lambda v
e v\neq 0.
Aqui \lambda=2. Portanto a condição a testar é
Bv=2v.
Alternativamente, podemos escrever isso como um sistema homogêneo:
(B-2I)v=0,
onde I é a matriz identidade 3\times3 e 0 é o vetor nulo. O conjunto de soluções não nulas desse sistema é o espaço próprio (autovetores) associado a \lambda=2.
Explicando cada símbolo:
B é a matriz dada (desconhecida aqui).
v é o vetor candidato (uma das alternativas).
I é a matriz identidade, isto é \,I=\begin{pmatrix}1&0&0\\\ 0&1&0\\\ 0&0&1\end{pmatrix}.
B-2I significa subtrair 2 vezes a identidade de B, resultando numa matriz 3\times3.
Resolver (B-2I)v=0 significa encontrar todos os v que fazem cada componente do produto igual a zero.
Passo 3
Como testar cada alternativa na prática (passo a passo que você pode fazer na prova, sem pular etapas).
Método direto (recomendado quando B é conhecida):
Pegue a alternativa v (por exemplo \,(1,0,0)).
Calcule Bv (multiplicação matricial: combinar as linhas de B com as entradas de v).
Calcule 2v.
Compare Bv com 2v:
Se Bv=2v, então v é autovetor associado a \lambda=2.
Se Bv\neq 2v, então v NÃO é autovetor associado a \lambda=2.
Método alternativo (resolver sistema):
Forme a matriz B-2I.
Escreva o sistema linear (B-2I)v=0 em equações escalares (uma por linha).
Resolva o sistema por eliminação de Gauss (ou redução por linhas) e encontre o espaço nulo.
Verifique quais, se houver, das alternativas pertencem a esse espaço nulo (ou seja, satisfazem as equações).
Dica prática de cálculo de Bv para vetores unitários padrão:
Se v=(1,0,0), então Bv é simplesmente a primeira coluna de B.
Se v=(0,1,0), então Bv é a segunda coluna de B.
Se v=(0,0,1), então Bv é a terceira coluna de B.
Isso torna a verificação de (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) muito rápida: basta comparar a coluna correspondente de B com 2 vezes o vetor coluna canônico.
Passo 4
Explicação detalhada da eliminação de Gauss aplicada a [(B-2I)v=0) (para quando a prova pede montar e resolver o sistema).
Forme a matriz aumentada correspondente ao sistema homogêneo. Como é homogêneo, a coluna de termos independentes é o vetor zero; por isso normalmente trabalhamos apenas com a matriz B-2I e buscamos suas combinações lineares que geram o zero.
Faça operações elementares por linhas:
Trocar duas linhas.
Multiplicar uma linha por escalar não nulo.
Somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
Essas operações simplificam a matriz até a forma escalonada reduzida por linhas (ou forma escalonada por linhas), revelando variáveis livres e pivôs.
Identifique pivôs (colunas com entradas principais não nulas) e variáveis livres (colunas sem pivô). Escreva soluções paramétricas em termos das variáveis livres.
Exemplo do tipo de algebra que você vai executar:
Se (B-2I) reduz a forma
Para v=(1,0,0): Bv=\begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}=2v. Portanto (1,0,0) é autovetor associado a \lambda=2.
Para v=(0,1,0): Bv=\begin{pmatrix}0\\\ 3\\\ 0\end{pmatrix}\neq 2\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}. Logo não é autovetor com \lambda=2.
Para v=(0,0,1): Bv=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 2\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}. Logo (0,0,1) também é autovetor associado a \lambda=2.
Esse exemplo mostra a forma prática de verificação: comparar Bv com 2v. IMPORTANTE: esse resultado pertence a ESSA matriz B de exemplo; o enunciado real pode ter outra B.]
Passo 6
Conclusão do que é possível afirmar com os dados que temos e instrução do que fazer em seguida.
Como a matriz B não foi fornecida no enunciado, não é possível afirmar qual alternativa é correta para o problema real.
Para resolver definitivamente: o procedimento que devo executar (ou você pode executar na prova) é verificar cada alternativa calculando Bv e comparando com 2v — ou montar (B-2I)v=0 e resolver o sistema por eliminação de Gauss.
Se você me enviar a matriz B, eu faço a verificação completa passo a passo e digo qual alternativa (a), (b), (c), (d) ou (e) é correta — mostrando todas as contas detalhadas, linha a linha.
Resposta
Não é possível determinar: a matriz B não foi fornecida.