Um autovetor associado ao autovalor \lambda=2 da matriz B é:
(a) (1,0,0)
(b) (0,1,0)
(c) (0,0,1)
(d) (1,1,1)
(e) (0,1,1)

Passo 1

O enunciado dá uma pergunta de múltipla escolha: “Um autovetor associado ao autovalor \lambda=2 da matriz B é:” e apresenta as alternativas
  • (a) \,(1,0,0)
  • (b) \,(0,1,0)
  • (c) \,(0,0,1)
  • (d) \,(1,1,1)
  • (e) \,(0,1,1)
Informações relevantes fornecidas:
  • O autovalor de interesse é \lambda=2.
  • As opções são vetores em \mathbb{R}^3.
  • A matriz B NÃO foi fornecida no enunciado.
Observação importante: sem conhecer a matriz B não há como calcular ou verificar qual das opções é, de fato, um autovetor associado a \lambda=2. Para determinar isso é necessário o conteúdo de B.

Passo 2

Definição e condição que usamos para identificar um autovetor associado a \lambda=2.
  • Um vetor v\in\mathbb{R}^3 é autovetor de B associado ao autovalor \lambda se e somente se
Bv=\lambda v
e v\neq 0.
  • Aqui \lambda=2. Portanto a condição a testar é
Bv=2v.
  • Alternativamente, podemos escrever isso como um sistema homogêneo:
(B-2I)v=0,
onde I é a matriz identidade 3\times3 e 0 é o vetor nulo. O conjunto de soluções não nulas desse sistema é o espaço próprio (autovetores) associado a \lambda=2.
Explicando cada símbolo:
  • B é a matriz dada (desconhecida aqui).
  • v é o vetor candidato (uma das alternativas).
  • I é a matriz identidade, isto é \,I=\begin{pmatrix}1&0&0\\\ 0&1&0\\\ 0&0&1\end{pmatrix}.
  • B-2I significa subtrair 2 vezes a identidade de B, resultando numa matriz 3\times3.
  • Resolver (B-2I)v=0 significa encontrar todos os v que fazem cada componente do produto igual a zero.

Passo 3

Como testar cada alternativa na prática (passo a passo que você pode fazer na prova, sem pular etapas).
Método direto (recomendado quando B é conhecida):
  1. Pegue a alternativa v (por exemplo \,(1,0,0)).
  2. Calcule Bv (multiplicação matricial: combinar as linhas de B com as entradas de v).
  3. Calcule 2v.
  4. Compare Bv com 2v:
    • Se Bv=2v, então v é autovetor associado a \lambda=2.
    • Se Bv\neq 2v, então v NÃO é autovetor associado a \lambda=2.
Método alternativo (resolver sistema):
  1. Forme a matriz B-2I.
  2. Escreva o sistema linear (B-2I)v=0 em equações escalares (uma por linha).
  3. Resolva o sistema por eliminação de Gauss (ou redução por linhas) e encontre o espaço nulo.
  4. Verifique quais, se houver, das alternativas pertencem a esse espaço nulo (ou seja, satisfazem as equações).
Dica prática de cálculo de Bv para vetores unitários padrão:
  • Se v=(1,0,0), então Bv é simplesmente a primeira coluna de B.
  • Se v=(0,1,0), então Bv é a segunda coluna de B.
  • Se v=(0,0,1), então Bv é a terceira coluna de B.
    Isso torna a verificação de (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) muito rápida: basta comparar a coluna correspondente de B com 2 vezes o vetor coluna canônico.

Passo 4

Explicação detalhada da eliminação de Gauss aplicada a [(B-2I)v=0) (para quando a prova pede montar e resolver o sistema).
  1. Forme a matriz aumentada correspondente ao sistema homogêneo. Como é homogêneo, a coluna de termos independentes é o vetor zero; por isso normalmente trabalhamos apenas com a matriz B-2I e buscamos suas combinações lineares que geram o zero.
  2. Faça operações elementares por linhas:
    • Trocar duas linhas.
    • Multiplicar uma linha por escalar não nulo.
    • Somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
      Essas operações simplificam a matriz até a forma escalonada reduzida por linhas (ou forma escalonada por linhas), revelando variáveis livres e pivôs.
  3. Identifique pivôs (colunas com entradas principais não nulas) e variáveis livres (colunas sem pivô). Escreva soluções paramétricas em termos das variáveis livres.
Exemplo do tipo de algebra que você vai executar:
Se (B-2I) reduz a forma
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\\\ 0 & 1 & 2\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
então o sistema equivale a
\begin{cases} x_1 - x_3 = 0,\\\ x_2 + 2x_3 = 0, \end{cases}
portanto x_1=x_3\], \(x_2=-2x_3. Com parâmetro t=x_3 obtemos vetores da forma
v=t(1,-2,1),
logo o espaço próprio é gerado por (1,-2,1). Para verificar as alternativas, basta ver se alguma é múltiplo desse gerador.

Passo 5

Exemplo didático (apenas ilustração de como aplicar o método com uma B específica).
Considere a matriz de exemplo
B=\begin{pmatrix}2&0&0\\[4pt]0&3&0\\[4pt]0&0&2\end{pmatrix}.
  • Para v=(1,0,0): Bv=\begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}=2v. Portanto (1,0,0) é autovetor associado a \lambda=2.
  • Para v=(0,1,0): Bv=\begin{pmatrix}0\\\ 3\\\ 0\end{pmatrix}\neq 2\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}. Logo não é autovetor com \lambda=2.
  • Para v=(0,0,1): Bv=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 2\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}. Logo (0,0,1) também é autovetor associado a \lambda=2.
Esse exemplo mostra a forma prática de verificação: comparar Bv com 2v. IMPORTANTE: esse resultado pertence a ESSA matriz B de exemplo; o enunciado real pode ter outra B.]

Passo 6

Conclusão do que é possível afirmar com os dados que temos e instrução do que fazer em seguida.
  • Como a matriz B não foi fornecida no enunciado, não é possível afirmar qual alternativa é correta para o problema real.
  • Para resolver definitivamente: o procedimento que devo executar (ou você pode executar na prova) é verificar cada alternativa calculando Bv e comparando com 2v — ou montar (B-2I)v=0 e resolver o sistema por eliminação de Gauss.
  • Se você me enviar a matriz B, eu faço a verificação completa passo a passo e digo qual alternativa (a), (b), (c), (d) ou (e) é correta — mostrando todas as contas detalhadas, linha a linha.

Resposta

Não é possível determinar: a matriz B não foi fornecida.

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