Seja
A=\left(\begin{array}{lll} 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 2 & 1 \\\\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right)
O polinômio característico de A é:
(a) (\lambda-2)
(b) (\lambda-2)^{2}
(c) (\lambda-2)^{3}
(d) \lambda^{3}-8
(e) (\lambda-1)^{3}

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}
e pergunta qual é o polinômio característico de A, oferecendo as alternativas (a) a (e). A informação relevante que temos é a própria matriz A (é uma matriz triangular superior, com todos os elementos da diagonal iguais a 2) e a tarefa de calcular o polinômio característico.]

Passo 2

Definição importante (aula rápida): o polinômio característico de uma matriz A é
p_A(\lambda)=\det\big(\lambda I - A\big),
onde I é a matriz identidade. Essa expressão é um polinômio em \lambda. As raízes de p_A(\lambda) são os autovalores (eigenvalues) de A. Aqui, I é a matriz identidade 3\times3 e \lambda é uma variável escalar.

Passo 3

Vamos formar a matriz \lambda I - A. A matriz identidade multiplicada por \lambda é
\lambda I=\begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0\\[4pt] 0 & \lambda & 0\\[4pt] 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix},
portanto
\lambda I - A = \begin{pmatrix} \lambda-2 & -1 & 0\\[4pt] 0 & \lambda-2 & -1\\[4pt] 0 & 0 & \lambda-2 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Cálculo do determinante. Observação útil (e muito prática para a prova): para uma matriz triangular (superior ou inferior), o determinante é o produto dos elementos da diagonal. Mas para fixar a ideia, faço a conta explícita por expansão por cofatores na primeira coluna:
A primeira coluna tem entradas \lambda-2, 0, 0. Expandindo pela primeira coluna:
\det(\lambda I - A) = (\lambda-2)\cdot \det\begin{pmatrix} \lambda-2 & -1\\[4pt] 0 & \lambda-2 \end{pmatrix}.
Agora o determinante do 2\times2 é
\det\begin{pmatrix} \lambda-2 & -1\\[4pt] 0 & \lambda-2 \end{pmatrix} = (\lambda-2)(\lambda-2)-0\cdot(-1)=(\lambda-2)^2.
Multiplicando,
\det(\lambda I - A) = (\lambda-2)\cdot(\lambda-2)^2 = (\lambda-2)^3.]

Passo 5

Interpretação e dica rápida: o polinômio característico resultante é (\lambda-2)^3, isto é, o único autovalor é \lambda=2 com multiplicidade algébrica 3. Dica para a prova: sempre que a matriz for triangular, já se pode escrever imediatamente p_A(\lambda)=\prod_{i}(\lambda-a_{ii}), onde a_{ii} são os elementos da diagonal.

Resposta

(c) (\lambda-2)^3

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