Seja A uma matriz 3 \times 3 com três autovalores distintos. Então A é:
(a) nilpotente
(b) ortogonal
(c) diagonalizável
(d) simétrica
(e) singular
Passo 1
O enunciado dá a seguinte informação:
A é uma matriz 3\times3.
A tem três autovalores distintos; denotemos-os por \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 com \lambda_i\neq\lambda_j para i\neq j.
O que a questão pede: identificar, entre as alternativas (a) nilpotente, (b) ortogonal, (c) diagonalizável, (d) simétrica, (e) singular, qual propriedade é garantida pela informação de que A tem três autovalores distintos.
Passo 2
Definições e ideias que vamos usar (explicadas passo a passo):
Autovalor e autovetor: um escalar \lambda é autovalor de A se existe vetor não-nulo v tal que
A v = \lambda v.
Esse vetor v é um autovetor associado a \lambda.
Matriz diagonalizável: A é diagonalizável se existe uma matriz invertível P tal que
P^{-1} A P = D
onde D é uma matriz diagonal. Uma forma prática de ver isto é: A é diagonalizável se existe uma base do espaço formada por autovetores de A. Se conseguimos n autovetores linearmente independentes em um espaço de dimensão n, então colocando esses autovetores como colunas de P obtemos a diagonalização.
Vamos então mostrar que, a partir de três autovalores distintos, obtemos três autovetores linearmente independentes.
Passo 3
Lema chave (explicação didática): autovetores associados a autovalores distintos são linearmente independentes.
Prova por indução (detalhada, passo a passo):
Caso base: com um autovetor v_1 não-nulo associado a \lambda_1, claramente o conjunto \{v_1\} é linearmente independente.
Passo indutivo: suponha que qualquer coleção de k-1 autovetores associados a k-1 autovalores distintos seja linearmente independente. Considere k autovetores v_1,\dots,v_k associados a autovalores \lambda_1,\dots,\lambda_k todos distintos, e suponha que existe combinação linear
c_1 v_1 + c_2 v_2 + \cdots + c_k v_k = 0.
Aplicando a matriz A a ambos os lados e usando A v_i = \lambda_i v_i, obtemos
pois o termo com v_k some (pois \lambda_k-\lambda_k=0). Pelas hipóteses de indução os vetores v_1,\dots,v_{k-1} são linearmente independentes, então os coeficientes diante de cada um devem ser zero:
Como \lambda_i \neq \lambda_k, segue \lambda_i-\lambda_k\neq 0, portanto c_i=0 para i=1,\dots,k-1. Voltando à combinação original resta c_k v_k = 0, daí c_k=0. Concluímos que todos os coeficientes são zero, portanto v_1,\dots,v_k são linearmente independentes.
Passo 4
Aplicando o lema ao nosso caso concreto: A tem três autovalores distintos \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3. Logo existem três autovetores correspondentes v_1,v_2,v_3 que são linearmente independentes. Como estamos em um espaço de dimensão 3, esses três autovetores formam uma base de \mathbb{R}^3 (ou \mathbb{C}^3, dependendo do corpo considerado).
Montando a matriz P cujas colunas são v_1,v_2,v_3, a matriz P é invertível (colunas linearmente independentes) e temos
P^{-1} A P = \begin{pmatrix}\lambda_1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & \lambda_2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & \lambda_3\end{pmatrix},
ou seja, A é diagonalizável. Esta construção é exatamente a definição prática de diagonalização: conjugação por P transforma A numa diagonal com os autovalores na diagonal.]
Passo 5
Conclusão lógica direta: a informação “três autovalores distintos” garante que A é diagonalizável. Portanto a alternativa correta é (c).
Passo 6
Comentário curto sobre as outras alternativas (por que não são garantidas):
(a) nilpotente: ser nilpotente implica que todos os autovalores são 0. Ter três autovalores distintos impede que todos sejam zero. Logo não pode ser nilpotente (ou, dito de outra forma, a hipótese contradiz a definição de nilpotente).
(b) ortogonal: uma matriz ortogonal satisfaz A^{T}A=I (no caso real) e seus autovalores têm módulo 1. Ter autovalores distintos não obriga que seus módulos sejam 1. Exemplo simples que contradiz (b): \operatorname{diag}(1,2,3) tem autovalores distintos 1,2,3 mas não é ortogonal.
(d) simétrica: ser simétrica é uma propriedade extra ( A^T=A ). Há matrizes com três autovalores distintos que não são simétricas; por exemplo a matriz triangular superior
tem autovalores 1,2,3 distintos, mas não é simétrica.
(e) singular: ser singular significaria \det A=0, ou seja que algum autovalor é 0. Ter três autovalores distintos não garante que um deles seja 0; por exemplo \operatorname{diag}(1,2,3) é não singular.]