Um autovetor associado ao autovalor \lambda=0 da matriz A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 2 & -2 \\\\ 2 & 0 & -2 \\\\ -2 & -2 & 4\end{array}\right) é:
(k, k, k) com k \neq 0
(k,-k, 0) com k \neq 0
(k, k,-2 k) com k \neq 0
(0,0, k) com k \neq 0

Passo 1

O enunciado pede um autovetor associado ao autovalor \lambda=0 da matriz
A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & -2\\\\ 2 & 0 & -2\\\\ -2 & -2 & 4 \end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é autovalor e autovetor: damos um vetor v=(x,y,z)\neq(0,0,0) tal que
Av = 0.

Passo 2

Escrevendo Av=0 com v=(x,y,z) temos o sistema
\begin{cases} 0\cdot x + 2y - 2z = 0,\\\\ 2x + 0\cdot y - 2z = 0,\\\\ -2x - 2y + 4z = 0. \end{cases}

Passo 3

Da primeira equação vem
2y - 2z = 0\quad\Longrightarrow\quad y = z.
Da segunda equação vem
2x - 2z = 0\quad\Longrightarrow\quad x = z.
A terceira equação é então redundante, pois substituindo x=z e y=z 0=0.

Passo 4

Logo a solução geral é
(x,y,z) = (z,z,z) = k\,(1,1,1),\quad k\neq 0,
ou seja, todo autovetor de \lambda=0 é múltiplo de (1,1,1).

Resposta

(k,k,k) com k \neq 0

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