O polinômio característico da matriz A=\left(\begin{array}{cc}1 & 2 \\\\ -1 & 4\end{array}\right) é:
\lambda^{2}-5 \lambda+2
\lambda^{2}-5 \lambda+6
\lambda^{2}+5 \lambda+6
\lambda^{2}-4 \lambda+3

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ -1 & 4\end{pmatrix}
e pede o polinômio característico, que se define como o determinante de A - \lambda I. Vamos usar a definição de matriz identidade e cálculo de determinante.

Passo 2

Escrevemos
A - \lambda I = \begin{pmatrix}1 - \lambda & 2 \\[6pt] -1 & 4 - \lambda\end{pmatrix}
e o polinômio característico
p(\lambda) = \det(A - \lambda I).]

Passo 3

Calculamos o determinante:
\det(A - \lambda I) = (1 - \lambda)(4 - \lambda) - \bigl(2 \cdot (-1)\bigr).

Passo 4

Expandindo e simplificando:
(1 - \lambda)(4 - \lambda) + 2 = 4 - \lambda - 4\lambda + \lambda^2 + 2 = \lambda^2 - 5\lambda + 6.

Passo 5

Portanto, o polinômio característico de A é \lambda^2 - 5\lambda + 6.

Resposta

\lambda^2 - 5\lambda + 6

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