Qual dos seguintes conjuntos de vetores forma uma base para
?
Passo 1
O enunciado pede para identificar quais dos conjuntos dados são bases do espaço
. Lembre que uma base de
é um conjunto de vetores que (i) é linearmente independente e (ii) gera todo
. Em particular, em
uma base deve ter exatamente dois vetores.
Passo 2
Critérios de base em
:
- Deve conter exatamente dois vetores (para não faltar nem sobrar em relação à dimensão).
- Esses dois vetores devem ser linearmente independentes, isto é, não podem ser múltiplos um do outro.
- Se forem linearmente independentes em
, automaticamente geram todo o espaço.
Passo 3
Conjunto
: só tem um vetor.
Um único vetor não pode gerar , pois qualquer combinação linear de um só vetor fica restrita a uma reta.
Logo, não é base.
Um único vetor não pode gerar
Logo, não é base.
Passo 4
Conjunto
: tem três vetores.
Em , todo conjunto com mais de dois vetores é linearmente dependente, portanto não pode ser uma base (pois falha na independência).
Logo, não é base.
Em
Logo, não é base.
Passo 5
Conjunto
: são dois vetores, mas note que
ou seja, são múltiplos entre si e, portanto, linearmente dependentes. Dois vetores dependentes não geram mais do que uma reta em
.
Logo, não é base.
Logo, não é base.
Passo 6
Conjunto
: são dois vetores.
Para verificar independência, avaliamos o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores:
Para verificar independência, avaliamos o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores:
Determinante não nulo implica que os vetores são linearmente independentes e, em
, isso garante que eles geram todo o espaço.
Logo, é base.
Logo, é base.
Resposta
O único conjunto que forma base de
é
.