Qual dos seguintes conjuntos de vetores forma uma base para 0 \mathbb{R}^{2} ?
\{(1,1)\}
\{(1,0),(0,1),(1,1)\}
\{(1,2),(2,4)\}
\{(1,-1),(1,1)\}

Passo 1

O enunciado pede para identificar quais dos conjuntos dados são bases do espaço \mathbb{R}^2. Lembre que uma base de \mathbb{R}^2 é um conjunto de vetores que (i) é linearmente independente e (ii) gera todo \mathbb{R}^2. Em particular, em \mathbb{R}^2 uma base deve ter exatamente dois vetores.

Passo 2

Critérios de base em \mathbb{R}^2:
  1. Deve conter exatamente dois vetores (para não faltar nem sobrar em relação à dimensão).
  2. Esses dois vetores devem ser linearmente independentes, isto é, não podem ser múltiplos um do outro.
  3. Se forem linearmente independentes em \mathbb{R}^2, automaticamente geram todo o espaço.

Passo 3

Conjunto \{(1,1)\}: só tem um vetor.
Um único vetor não pode gerar \mathbb{R}^2, pois qualquer combinação linear de um só vetor fica restrita a uma reta.
Logo, não é base.

Passo 4

Conjunto \{(1,0),(0,1),(1,1)\}: tem três vetores.
Em \mathbb{R}^2, todo conjunto com mais de dois vetores é linearmente dependente, portanto não pode ser uma base (pois falha na independência).
Logo, não é base.

Passo 5

Conjunto \{(1,2),(2,4)\}: são dois vetores, mas note que
(2,4) = 2\,(1,2),
ou seja, são múltiplos entre si e, portanto, linearmente dependentes. Dois vetores dependentes não geram mais do que uma reta em \mathbb{R}^2.
Logo, não é base.

Passo 6

Conjunto \{(1,-1),(1,1)\}: são dois vetores.
Para verificar independência, avaliamos o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores:
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ -1 & 1\end{pmatrix} =1\cdot1 - 1\cdot(-1)=2\neq0.
Determinante não nulo implica que os vetores são linearmente independentes e, em \mathbb{R}^2, isso garante que eles geram todo o espaço.
Logo, é base.

Resposta

O único conjunto que forma base de \mathbb{R}^2 é \{(1,-1),(1,1)\}.

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