Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} a transformação linear definida por T(x, y, z)=(x+y, y+z). O núcleo (Kernel) de T é:
o conjunto de vetores da forma (k,-k, k) para k \in \mathbb{R}.
O conjunto de vetores da forma (k, k, 0) para k \in \mathbb{R}.
o vetor nulo ( 0,0,0 ).
o espaço \mathbb{R}^{3} inteiro.

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear
\displaystyle T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 por
T(x,y,z) = (\,x+y,\;y+z\,).
Queremos achar o núcleo de T, isto é, todos os vetores (x,y,z) tais que T(x,y,z)=(0,0).

Passo 2

Para ter T(x,y,z)=(0,0), devemos satisfazer o sistema
\begin{cases} x + y = 0,\\\ y + z = 0. \end{cases}

Passo 3

Da primeira equação vem x = -y.
Da segunda equação vem z = -y.

Passo 4

Podemos parametrizar pela escolha de um parâmetro k\in\mathbb{R}. Por exemplo, seja
k = x = -y,
então y = -k e z = -y = k. Logo todo vetor no núcleo é da forma
(x,y,z) = (k,\,-k,\,k).

Resposta

O núcleo de T é o conjunto de vetores da forma (k,-k,k) para k\in\mathbb{R}.

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