1. Os autovetores de um operador linear T: R^{2} \mathbb{R} R^{2} são I_{1}=2 e I_{2}=-3, sendo \mathrm{v}_{1}=(1,-1) \mathrm{e} \mathrm{v}_{2}=(-1,0) os respectivos autovetores associados.
    a) Determinar \mathrm{T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}).
    b) Sendo \mathrm{P}=\{(1,-1),(-1,0)\} determine [\mathrm{T}]_{\mathrm{P}}.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear T\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 cujos autovalores são \lambda_1=2 e \lambda_2=-3, com autovetores correspondentes \mathbf v_1=(1,-1) e \mathbf v_2=(-1,0). Precisamos (a) achar a fórmula de T(x,y) na base canônica e (b) determinar a matriz de T na base P=\{\mathbf v_1,\mathbf v_2\}.

Passo 2

Vamos montar a diagonalização. Definimos
P = \begin{pmatrix} 1 & -1\\\\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad D = \begin{pmatrix} 2 & 0\\\\ 0 & -3 \end{pmatrix},
de modo que
T = P\,D\,P^{-1}.

Passo 3

Calculamos \det P e P^{-1}. Temos
\det P = 1\cdot0 - (-1)\cdot(-1) = -1,
e portanto
P^{-1} = \frac1{\det P} \begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1\\\\ -1 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Agora calculamos
A = P\,D = \begin{pmatrix} 1 & -1\\\\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0\\\\ 0 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 3\\\\ -2 & 0 \end{pmatrix},
e em seguida
A\,P^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 3\\\\ -2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1\\\\ -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & -5\\\\ 0 & 2 \end{pmatrix}.
Então a matriz de T na base canônica é
[T]_{\text{can}} = \begin{pmatrix} -3 & -5\\\\ 0 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 5

Da matriz acima extraímos a ação de T em um vetor (x,y). Basta multiplicar:
T(x,y) = \begin{pmatrix} -3 & -5\\\\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\\ y \end{pmatrix} = \bigl(-3x - 5y,\;2y\bigr).

Passo 6

Por construção, na base P=\{\mathbf v_1,\mathbf v_2\} a matriz de T é exatamente a diagonal D, ou seja,
[T]_{P} = \begin{pmatrix} 2 & 0\\\\ 0 & -3 \end{pmatrix}.

Resposta

(a) T(x,y)=(-3x -5y,\;2y).
(b) [T]_{P}=\displaystyle\begin{pmatrix}2&0\\\ 0&-3\end{pmatrix}.

Exercícios relacionados