Exercício 7 Uma transformação linear entre os espaços R^n e R^m é uma função T: R^n R^m que satisfaz as seguintes condições:
  • L(x+y)=L(x)+L(y), forall x, y in R^n,
  • L(lambda x)=lambda L(x), forall x in R^n e forall lambda in R.
  1. Considere Am times n uma matriz real. Mostre que a função TA: R^n R^m definida por TA(x)=A cdot x é uma transformação linear. (A notação A cdot x indica o produto usual de matrizes.)
  2. Mostre que se T: R^n R^m é uma transformação linear, então existe uma matriz Am times n tal que TA(x)=A cdot x.
  3. Suponha n=m. Mostre que a transformação linear TA(x)=A cdot x é injetiva se, e somente se, det(A) neq 0.

Passo 1

O exercício trata de transformação linear entre espaços vetoriais em $\mathbb{R}^n$ e $\mathbb{R}^m$. Precisamos mostrar três coisas: que a aplicação $!T_A(x)=A x$ é linear, que toda transformação linear $!T$ vem de uma matriz $!A$, e, no caso quadrado $n=m$, que $!T_A$ é injetiva exatamente quando $!\det(A)$ é diferente de zero. Para isso usaremos a definição de linearidade, a base canônica de $\mathbb{R}^n$ e propriedades de determinante e núcleo.

Passo 2

Para provar que $!T_A$ é linear, basta verificar as duas propriedades:
  1. Aditividade:
Começamos com
$$
T_A(x+y)=A,(x+y)
$$
Mas o produto de matrizes distribui sobre soma de vetores, então
$$
A,(x+y)=A,x+A,y=T_A(x)+T_A(y).
$$
  1. Homogeneidade:
Para escalar $!\lambda x$, temos
$$
T_A(\lambda x)=A,(\lambda x)=\lambda,A x=\lambda,T_A(x).
$$
Como ambas se verificam, $!T_A$ é transformação linear.

Passo 3

Para mostrar que toda transformação linear $!T: \mathbb{R}n\to\mathbb{R}m$ é dada por matriz, usamos a base canônica $!{e_1,\dots,e_n\}$. Definimos a matriz $!A_{m\times n}$ cujas colunas são
$$
A_j=T(e_j),
$$
onde $!A_j$ é a $j$-ésima coluna de $!A$. Então, para um vetor qualquer $!x=(x_1,\dots,x_n)^T$, escrevemos
$$
x=\sum_{j=1}^n x_j e_j
$$
e, usando linearidade de $!T$:
$$
T(x)=T\biggl(\sum_{j=1}^n x_j e_j\biggr)=\sum_{j=1}^n x_j T(e_j)=\sum_{j=1}^n x_j A_j=A x.
$$
Assim, $!T(x)=A x$.

Passo 4

No caso $n=m$, a transformação $!T_A$ é injetiva se e somente se seu núcleo for trivial, isto é,
$$
\ker(T_A)={0\}.
$$
Mas $!x$ pertence ao núcleo se $!A x=0$. Logo, injetividade equivale a dizer que o sistema homogêneo $!A x=0$ só admite a solução $!x=0$. Pelas propriedades de determinante, isso ocorre exatamente quando $!\det(A)\neq 0$. Portanto, $!T_A$ é injetiva $\Leftrightarrow \det(A)\neq 0$.

Resposta

  1. A aplicação TA(x)=Ax satisfaz aditividade e homogeneidade, logo é linear.
  2. Dados T linear, definimos A cujas colunas são T(ej); assim T(x)=Ax.
  3. Para n=m, TA é injetiva ⇔ seu núcleo é trivial ⇔ o sistema homogêneo Ax=0 só tem solução x=0 det(A)neq0.

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