Com o auxílio do Teorema de Green, calcule a integral de linha
ointD 3 x y d x+2 x^2 d y
Onde D é a região delimitada pela reta y=xe a parábola y=x^2-2 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me mandou um exercício que pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral que precisamos resolver é:
ointD 3xy, dx + 2x^2, dy
Aqui, $ D $ é a região delimitada pela reta $ y = xe $ e pela parábola $ y = x^{2} - 2x $. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que nos ajuda a transformar essa integral de linha em uma integral dupla sobre a região $ D $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que para uma curva fechada $ C $ que delimita uma região $ D $, temos:
C
No nosso caso, $ P = 3xy $ e $ Q = 2x^{2} $. Precisamos calcular as derivadas parciais de $ Q $ em relação a $ x $ e de $ P $ em relação a $ y $.

Passo 3

Vamos calcular:
partial Qpartial x = partialpartial x (2x^2) = 4x
partial Ppartial y = partialpartial y (3xy) = 3x
Agora, substituímos na fórmula do Teorema de Green:
integral duplaD ( 4x - 3x ) dA = integral duplaD x, dA
Então, nossa integral de linha virou uma integral dupla de $ x $ sobre a região $ D $.

Passo 4

Agora, precisamos descrever a região $ D $ para integrar. As curvas que limitam $ D $ são:
  1. A reta $ y = xe $
  2. A parábola $ y = x^{2} - 2x $
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas para determinar os limites de integração. Igualando as duas expressões para $ y $:
D
D
y = xe
Então, as soluções são $ x = 0 $ e $ x = 2 + e $. Isso significa que $ D $ está entre $ x = 0 $ e $ x = 2 + e $, e entre $ y = x^{2} - 2x $ e $ y = xe $.

Passo 5

Vamos montar a integral dupla com esses limites. Integraremos $ x $ em relação a $ y $ primeiro, de $ y = x^{2} - 2x $ até $ y = xe $, e depois em relação a $ x $ de $ 0 $ até $ 2 + e $:
x
Integrando em relação a $ y $ primeiro:
y
y = x^2 - 2x
y = xe

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral ( (e + 2)x^2 - x^3 ) dx = (e + 2)3x^3 - 14x^4 + C
Aplicando os limites de $ 0 $ a $ 2 + e $:
0
Simplificando:
2 + e
Podemos fatorar $ (2 + e)^{3} $:
[ (e + 2)3(2 + e)^3 - 14(2 + e)^4 ] - [ 0 ]
Então, a integral vale:
(e + 2)3(2 + e)^3 - 14(2 + e)^4

Resposta

A integral de linha é igual a $ \dfrac{(2 + e)^{4}}{12} $.

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