Com o auxílio do Teorema de Green, calcule a integral de linha
Onde D é a região delimitada pela reta
a parábola
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me mandou um exercício que pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral que precisamos resolver é:
Aqui, $ D $ é a região delimitada pela reta $ y = xe $ e pela parábola $ y = x^{2} - 2x $. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que nos ajuda a transformar essa integral de linha em uma integral dupla sobre a região $ D $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que para uma curva fechada $ C $ que delimita uma região $ D $, temos:
No nosso caso, $ P = 3xy $ e $ Q = 2x^{2} $. Precisamos calcular as derivadas parciais de $ Q $ em relação a $ x $ e de $ P $ em relação a $ y $.
Passo 3
Vamos calcular:
Agora, substituímos na fórmula do Teorema de Green:
Então, nossa integral de linha virou uma integral dupla de $ x $ sobre a região $ D $.
Passo 4
Agora, precisamos descrever a região $ D $ para integrar. As curvas que limitam $ D $ são:
- A reta $ y = xe $
- A parábola $ y = x^{2} - 2x $
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas para determinar os limites de integração. Igualando as duas expressões para $ y $:
Então, as soluções são $ x = 0 $ e $ x = 2 + e $. Isso significa que $ D $ está entre $ x = 0 $ e $ x = 2 + e $, e entre $ y = x^{2} - 2x $ e $ y = xe $.
Passo 5
Vamos montar a integral dupla com esses limites. Integraremos $ x $ em relação a $ y $ primeiro, de $ y = x^{2} - 2x $ até $ y = xe $, e depois em relação a $ x $ de $ 0 $ até $ 2 + e $:
Integrando em relação a $ y $ primeiro:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo:
Aplicando os limites de $ 0 $ a $ 2 + e $:
Simplificando:
Podemos fatorar $ (2 + e)^{3} $:
Então, a integral vale:
Resposta
A integral de linha é igual a $ \dfrac{(2 + e)^{4}}{12} $.