Para cada um dos PVIs abaixo:

Esboce membros da família das curvas integrais dessas EDOs sem resolvê-las.

Passo 1

O enunciado dá um PVI com dydt=t+1 e y(0)=1. O assunto aqui é campo de declividades e família de curvas integrais de uma EDO de primeira ordem. Para esboçar sem resolver, vamos usar apenas a forma de f(t,y)=t+1.

Passo 2

A função f(t,y)=t+1 não depende de y. Isso significa que, para um mesmo valor de t, todas as rectinhas tangentes têm a mesma inclinação. Se fizermos o campo de declividades, em cada abscissa t as setas serão paralelas entre si e inclinadas por t+1.
Como a inclinação é uma função linear de t, ao integrar esse campo de declividades obteríamos parábolas com concavidade para cima. De fato, uma primitiva de t+1 em relação a t é t^22+t, e a família de soluções gerais será essa expressão mais uma constante de nível.

Passo 3

Para esboçar, primeiro desenhe a parábola “base” correspondente à constante de integração C=0:
y=t^22+t
Depois, trace outras cópias dessa parábola para valores diferentes de C. Isso desloca todas as curvas verticalmente, gerando uma família paralela de parábolas que cobre o plano.

Resposta

As curvas integrais formam a família de parábolas
y=tfract^22+t+C,
com várias cópias deslocadas verticalmente. No esboço, basta desenhar a parábola base ( C=0) e algumas paralelas para C>0 e C<0.

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