Calcule a integral dupla.

Passo 1

O exercício pede calcular integral duplaR x y^2x^2+1,dA com R=[0,1]times[-3,3]. O conteúdo é integração dupla em um retângulo e vamos usar o Teorema de Fubini para separar as integrais em x e y.

Passo 2

Pela Fubini, escrevemos a integral como
integral0^1integral-3^3x y^2x^2+1,dy,dx
Como x/(x^2+1) independe de y, podemos extrair esse fator da integral interna.

Passo 3

Calcular a integral interna em y:
integral-3^3y^2,dy=[y^33]-3^3=273--273=18
Logo a integral fica
18integral0^1xx^2+1,dx

Passo 4

Para avaliar integral0^1xx^2+1,dx, fazemos a substituição u=x^2+1, du=2x,dx, logo x,dx=du/2. Os limites vão de u(0)=1 a u(1)=2, resultando em
12integral1^21u,du=12[ln u]1^2=12ln2

Passo 5

Multiplicando por 18, obtemos o valor da integral dupla:
18cdot12ln2=9ln2

Resposta

9 \ln(2)

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