Com o auxílio do Teorema de Green, calcule a integral de linha
Onde
é a região delimitada pela reta
e a parábola
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral que a gente quer resolver é:
Aqui, $ D $ é a região delimitada pela reta $ y = x $ e pela parábola $ y = x^{2} - 2x $. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha ao redor de uma região plana com integrais duplas sobre a própria região.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teorema de Green. Ele nos diz que uma integral de linha ao redor de uma curva fechada $ C $ pode ser convertida em uma integral dupla sobre a região $ D $ que está dentro de $ C $. A fórmula do Teorema de Green é:
No nosso caso, $ P = 3xy $ e $ Q = 2x^{2} $. Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 3
Vamos encontrar $ \frac{\partial Q}{\partial x} $ e $ \frac{\partial P}{\partial y} $:
Agora, calculamos $ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} $:
Passo 4
Agora, vamos configurar a integral dupla. Precisamos determinar os limites de integração para a região $ D $. Vamos encontrar os pontos de interseção entre a reta $ y = x $ e a parábola $ y = x^{2} - 2x $:
Então, os pontos de interseção são $ (0, 0) $ e $ (3, 3) $.
Passo 5
Para configurar os limites de integração, vamos observar que para cada $ x $ entre 0 e 3, o valor de $ y $ varia da parábola $ y = x^{2} - 2x $ até a reta $ y = x $. Então, nossa integral dupla fica:
Passo 6
Vamos calcular a integral interna primeiro:
Agora, simplificamos:
Agora, integramos isso em relação a $ x $ de 0 a 3:
Calculando nos limites:
Resposta
A integral de linha é igual a $ \dfrac{27}{4} $.