Com o auxílio do Teorema de Green, calcule a integral de linha
ointD 3 x y d x+2 x^2 d y
Onde D é a região delimitada pela reta y=x e a parábola y=x^2-2 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral que a gente quer resolver é:
ointD 3 x y , dx + 2 x^2 , dy
Aqui, $ D $ é a região delimitada pela reta $ y = x $ e pela parábola $ y = x^{2} - 2x $. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha ao redor de uma região plana com integrais duplas sobre a própria região.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teorema de Green. Ele nos diz que uma integral de linha ao redor de uma curva fechada $ C $ pode ser convertida em uma integral dupla sobre a região $ D $ que está dentro de $ C $. A fórmula do Teorema de Green é:
C
No nosso caso, $ P = 3xy $ e $ Q = 2x^{2} $. Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 3

Vamos encontrar $ \frac{\partial Q}{\partial x} $ e $ \frac{\partial P}{\partial y} $:
partial Qpartial x
partial Ppartial y
Agora, calculamos $ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} $:
partial Qpartial x = partialpartial x (2x^2) = 4x

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral dupla. Precisamos determinar os limites de integração para a região $ D $. Vamos encontrar os pontos de interseção entre a reta $ y = x $ e a parábola $ y = x^{2} - 2x $:
D
y = x
y = x^2 - 2x
Então, os pontos de interseção são $ (0, 0) $ e $ (3, 3) $.

Passo 5

Para configurar os limites de integração, vamos observar que para cada $ x $ entre 0 e 3, o valor de $ y $ varia da parábola $ y = x^{2} - 2x $ até a reta $ y = x $. Então, nossa integral dupla fica:
x

Passo 6

Vamos calcular a integral interna primeiro:
integraly = x^2 - 2x^y = x x , dy = x cdot [ y ]x^2 - 2x^x = x (x - (x^2 - 2x)) = x (3x - x^2)
Agora, simplificamos:
x (3x - x^2) = 3x^2 - x^3
Agora, integramos isso em relação a $ x $ de 0 a 3:
x
Calculando nos limites:
integral0^3 (3x^2 - x^3) , dx = [ x^3 - x^44 ]0^3

Resposta

A integral de linha é igual a $ \dfrac{27}{4} $.

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