AVALIAÇÃO II
  1. (3.0 pontos) Considerando a função periódica de período 2 pi
f(x)=x cdot sen(x) ; -pi
Determine:
a) os coeficientes de Fourier.
l a0=

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma função periódica com período 2pi, dada por $ f(x) = x \cdot \sin(x) $ no intervalo f(x) = x cdot sin(x) . O conteúdo que vamos usar aqui são os coeficientes de Fourier, que ajudam a representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para achar o coeficiente $ a_0 $, vamos precisar da fórmula específica para ele.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular $ a_0 $. O coeficiente $ a_0 $ representa a média da função no intervalo considerado e é dado por:
a0

Passo 3

Agora, vamos substituir a função $ f(x) $ na integral:
f(x)

Passo 4

Vamos resolver a integral integral-pi^pi x cdot sin(x) , dx. Observando a função $ x \cdot \sin(x) $, percebemos que ela é par, ou seja, $ f(-x) = f(x) $. Isso significa que podemos simplificar a integral:
x cdot sin(x)
Para resolver f(-x) = f(x) , usamos a integração por partes, onde escolhemos:
  • $ u = x $ integral-pi^pi x cdot sin(x) , dx = 2 integral0^pi x cdot sin(x) , dx $ du = dx $
  • $ dv = \sin(x) , dx $ integral x cdot sin(x) , dx $ v = -\cos(x) $
Aplicando a fórmula de integração por partes:
u = x
Agora, avaliamos de Rightarrow a du = dx :
dv = sin(x) , dx
Então, a integral total é:
Rightarrow

Passo 5

Agora, substituímos o valor da integral na fórmula de $ a_0 $:
a0

Resposta

a0 = 2

Exercícios relacionados