AVALIAÇÃO II
- (3.0 pontos) Considerando a função periódica de período
Determine:
a) os coeficientes de Fourier.
a) os coeficientes de Fourier.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma função periódica com período
, dada por $ f(x) = x \cdot \sin(x) $ no intervalo
. O conteúdo que vamos usar aqui são os coeficientes de Fourier, que ajudam a representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para achar o coeficiente $ a_0 $, vamos precisar da fórmula específica para ele.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular $ a_0 $. O coeficiente $ a_0 $ representa a média da função no intervalo considerado e é dado por:
Passo 3
Agora, vamos substituir a função $ f(x) $ na integral:
Passo 4
Vamos resolver a integral
. Observando a função $ x \cdot \sin(x) $, percebemos que ela é par, ou seja, $ f(-x) = f(x) $. Isso significa que podemos simplificar a integral:
Para resolver
, usamos a integração por partes, onde escolhemos:
- $ u = x $
$ du = dx $ - $ dv = \sin(x) , dx $
$ v = -\cos(x) $
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Agora, avaliamos de
a
:
Então, a integral total é:
Passo 5
Agora, substituímos o valor da integral na fórmula de $ a_0 $: