Seja f(x)=raiz9-x^2. Então a integral I=integral-3^0 f(x) d x é igual a:
(e) 3 pi / 2

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função f(x)=raiz9-x^2 e queremos calcular a integral definida
I=integral-3^0f(x),dx
O conteúdo principal é o cálculo de integrais definidas, que aqui pode ser encarado geometricamente como área de um arco de círculo ou via substituição trigonométrica.

Passo 2

Interpretação geométrica: o gráfico de y=raiz9-x^2 é a semicircunferência superior de raio 3 centrada na origem. O intervalo de x=-3 a x=0 corresponde a um quarto de círculo de raio 3. Portanto
I=área do quarto de círculo = 14l(picdot 3^2r)=9pi4 áí

Passo 3

Verificação por substituição trigonométrica (opcional): faça x=3sintheta, então dx=3costheta,dtheta e raiz9-x^2=3costheta. Os limites vão de x=-3impliestheta=-tfracpi2 até x=0impliestheta=0. Assim
I=integral-pi/2^03costheta,(3costheta,dtheta)=9integral-pi/2^0cos^2theta,dtheta =9integral-pi/2^01+cos(2theta)2,dtheta =92l[theta+tfracsin(2theta)2r]-pi/2^0 =9pi4

Resposta

9pi4

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