Cálcule a soma da série ou mostre que a série diverge
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Você precisa calcular a soma da série infinita
. A matéria que vamos usar aqui é sobre séries geométricas. Para isso, vamos precisar saber como identificar uma série geométrica e aplicar a fórmula da soma.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série geométrica. Uma série geométrica é uma soma de termos que têm uma razão constante entre si. No nosso caso, cada termo é
, onde a razão é
.
Passo 3
Sabemos que uma série geométrica da forma
converge se a razão
satisfaz
. A soma dessa série é dada por
. No nosso exercício,
, que satisfaz
, então a série converge.
Passo 4
Agora, vamos aplicar essa fórmula à nossa série. A série original começa em
, mas a fórmula que conhecemos começa em
. Então, vamos ajustar isso. Primeiro, calculamos a soma da série começando em
:
Passo 5
Como nossa série começa em
, precisamos subtrair os primeiros dois termos (
e
) da soma total:
Resposta
A soma da série é
.