Cálcule a soma da série ou mostre que a série diverge
sumk=2^infty(13)^k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Você precisa calcular a soma da série infinita sumk=2^infty(13)^k. A matéria que vamos usar aqui é sobre séries geométricas. Para isso, vamos precisar saber como identificar uma série geométrica e aplicar a fórmula da soma.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série geométrica. Uma série geométrica é uma soma de termos que têm uma razão constante entre si. No nosso caso, cada termo é (13)^k, onde a razão é 13.

Passo 3

Sabemos que uma série geométrica da forma sumk=0^infty r^k converge se a razão r satisfaz |r| < 1. A soma dessa série é dada por 11 - r. No nosso exercício, r = 13, que satisfaz |13| < 1, então a série converge.

Passo 4

Agora, vamos aplicar essa fórmula à nossa série. A série original começa em k=2, mas a fórmula que conhecemos começa em k=0. Então, vamos ajustar isso. Primeiro, calculamos a soma da série começando em k=0:
sumk=0^infty(13)^k = 11 - 13 = 123 = 32

Passo 5

Como nossa série começa em k=2, precisamos subtrair os primeiros dois termos ( k=0 e k=1) da soma total:
sumk=2^infty(13)^k = sumk=0^infty(13)^k - (13)^0 - (13)^1
= 32 - 1 - 13 = 32 - 43 = 96 - 86 = 16

Resposta

A soma da série é 16.

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