Seja f(x)=raiz9-x^2. Então a integral I=integral-3^0 f(x) d x é igual a:
(b) 9 pi / 4

Passo 1

Nesse exercício, temos a função f definida por f(x)= raiz9 - x^2 e queremos calcular a integral I = integral-3^0 raiz9 - x^2,dx. O conteúdo envolve integração por substituição trigonométrica (ou interpretação geométrica da área sob um quarto de círculo).

Passo 2

Para aplicar substituição trigonométrica, façamos x = 3 sintheta. Assim, dx = 3 costheta,dtheta e
raiz9 - x^2 = raiz9 - 9sin^2theta = 3costheta

Passo 3

Precisamos ajustar os limites: quando x = -3, 3sintheta = -3 implica theta = -tfracpi2; quando x = 0, theta = 0. Então a integral vira
I = integral-3^0 raiz9 - x^2,dx = integral-pi2^0 (3costheta),(3costheta,dtheta) = 9 integral-pi2^0 cos^2theta,dtheta

Passo 4

Usamos a identidade cos^2theta = tfrac1 + cos(2theta)2 para reescrever a integral:
9 integral-pi2^0 cos^2theta,dtheta = 9 integral-pi2^0 1 + cos(2theta)2,dtheta = 92 l[theta + tfracsin(2theta)2r]-pi2^0

Passo 5

Ao avaliar nos limites, temos
92l[(0 + 0) -l(-tfracpi2 + 0r)r] = 92 cdot pi2 = 9pi4

Resposta

9pi4

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