AVALIAÇÃO II
  1. (3.0 pontos) Considerando a função periódica de período 2 pi
f(x)=x cdot sen(x) ; -pi
Determine:
a) os coeficientes de Fourier.
l bn=

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: temos uma função periódica de período $ 2\pi $ definida por $ f(x) = x \cdot \sin(x) $ no intervalo $ -\pi < x \leq \pi $. Vamos precisar das fórmulas dos coeficientes de Fourier para resolver essa questão.

Passo 2

Os coeficientes de Fourier para uma função periódica de período $ 2\pi $ são dados por:
2pi
a0 = 12pi integral-pi^pi f(x) , dx
an = 1pi integral-pi^pi f(x) cos(nx) , dx
Como precisamos determinar $ b_n $, vamos focar nessa fórmula.

Passo 3

Vamos analisar a função $ f(x) = x \cdot \sin(x) $. Podemos verificar se a função é par ou ímpar.
Uma função é par se $ f(-x) = f(x) $, e ímpar se $ f(-x) = -f(x) $.
Calculando:
f(x) = x cdot sin(x)
Portanto, $ f(x) $ é uma função par.

Passo 4

Para funções pares, os coeficientes $ b_n $ (seno) são todos iguais a zero. Isso ocorre porque a integral de um produto de funções pares e ímpares é zero.
Portanto, $ b_n = 0 $ para todo $ n $.

Resposta

Para todo $ n $, os coeficientes de Fourier senoidais são $ b_n = 0 $.

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