AVALIAÇÃO II
- (3.0 pontos) Considerando a função periódica de período
Determine:
a) os coeficientes de Fourier.
a) os coeficientes de Fourier.
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: temos uma função periódica de período $ 2\pi $ definida por $ f(x) = x \cdot \sin(x) $ no intervalo $ -\pi < x \leq \pi $. Vamos precisar das fórmulas dos coeficientes de Fourier para resolver essa questão.
Passo 2
Os coeficientes de Fourier para uma função periódica de período $ 2\pi $ são dados por:
Como precisamos determinar $ b_n $, vamos focar nessa fórmula.
Passo 3
Vamos analisar a função $ f(x) = x \cdot \sin(x) $. Podemos verificar se a função é par ou ímpar.
Uma função é par se $ f(-x) = f(x) $, e ímpar se $ f(-x) = -f(x) $.
Calculando:
Portanto, $ f(x) $ é uma função par.
Passo 4
Para funções pares, os coeficientes $ b_n $ (seno) são todos iguais a zero. Isso ocorre porque a integral de um produto de funções pares e ímpares é zero.
Portanto, $ b_n = 0 $ para todo $ n $.
Resposta
Para todo $ n $, os coeficientes de Fourier senoidais são $ b_n = 0 $.