Identifique e esboce cada uma das curvas abaixo ((r, theta) denotam as coordenadas polares em R^2).
r^2=cos (2 theta).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para identificar e desenhar a curva definida em coordenadas polares pela equação . Vamos usar conhecimentos de coordenadas polares e tipos de curvas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a equação . Aqui, é a distância do ponto até a origem e é o ângulo em relação ao eixo positivo de .

Passo 3

Para identificar a curva, vamos reescrever a equação de uma forma mais familiar. Podemos expressar r = raizcos(2theta) em termos de :
Isso já nos dá uma ideia de como varia com .

Passo 4

Agora, sabemos que a equação representa uma lemniscata. As lemniscatas são curvas em forma de oito ou de infinito, dependendo da equação.

Passo 5

Vamos analisar os valores de cos(2theta) >= 0 que tornam real. Como estamos tirando a raiz quadrada de , o que está dentro da raiz deve ser positivo:
Isso acontece quando está entre e , ou entre e , e assim por diante.

Passo 6

Graficamente, isso significa que a curva tem duas “folhas” simétricas em relação ao eixo . Quando , , picando na direção positiva de . Quando , , voltando para a origem.

Passo 7

Para desenhar, fazemos alguns pontos:
  • :
  • :
  • :
  • Repeteendo para outros ângulos, percebemos a simetria.

Resposta

A curva é uma lemniscata, uma figura em formato de oito, simétrica em relação ao eixo .

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