Identifique e esboce cada uma das curvas abaixo
denotam as coordenadas polares em
.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para identificar e desenhar a curva definida em coordenadas polares pela equação
. Vamos usar conhecimentos de coordenadas polares e tipos de curvas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a equação
. Aqui,
é a distância do ponto até a origem e
é o ângulo em relação ao eixo positivo de
.
Passo 3
Para identificar a curva, vamos reescrever a equação de uma forma mais familiar. Podemos expressar
em termos de
:
Isso já nos dá uma ideia de como
varia com
.
Passo 4
Agora, sabemos que a equação
representa uma lemniscata. As lemniscatas são curvas em forma de oito ou de infinito, dependendo da equação.
Passo 5
Vamos analisar os valores de
que tornam
real. Como estamos tirando a raiz quadrada de
, o que está dentro da raiz deve ser positivo:
Isso acontece quando
está entre
e
, ou entre
e
, e assim por diante.
Passo 6
Graficamente, isso significa que a curva tem duas “folhas” simétricas em relação ao eixo
. Quando
,
, picando na direção positiva de
. Quando
,
, voltando para a origem.
Passo 7
Para desenhar, fazemos alguns pontos:
-
: -
: -
: - Repeteendo para outros ângulos, percebemos a simetria.
Resposta
A curva
é uma lemniscata, uma figura em formato de oito, simétrica em relação ao eixo
.