Usando o teste da comparação, estude a série dada com relação a convergência ou divergência
sumk=0^infty e^-k(k+1)2 k+3

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a série sumk=0^infty e^-k(k+1)2k+3 e queremos saber se ela converge ou diverge usando o Teste da Comparação. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre séries e como comparar termos para avaliar a convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para entender melhor como os termos se comportam quando k fica grande. Observamos o termo geral:
ak = e^-k(k+1)2k+3
Quando k tende ao infinito, os termos dominantes no numerador e no denominador são e^-kk e 2k, respectivamente. Então, podemos aproximar ak por:
ak approx e^-kk2k = e^-k2
Isso nos dá uma ideia de como os termos se comportam para valores grandes de k.

Passo 3

Agora, vamos escolher uma série com a qual possamos comparar. Vimos que ak approx e^-k2, então vamos comparar nossa série com a série geométrica:
bk = e^-k
Sabemos que a série geométrica sumk=0^infty e^-k converge porque a razão e^-1 é menor que 1.

Passo 4

Para aplicar o Teste da Comparação, precisamos verificar se existe uma constante C > 0 tal que para todo k grande o seguinte é verdadeiro:
ak <= C cdot bk
No nosso caso:
e^-k(k+1)2k+3 <= e^-k(k+1)2k = e^-k(k+1)2k
Simplificando:
k+12k = 12 + 12k <= 1 para todo k >= 1
Então:
ak <= e^-k para todo k >= 1
Aqui, podemos escolher C = 1.

Passo 5

Como a série sumk=0^infty e^-k converge e ak <= bk para todo k grande, pelo Teste da Comparação concluímos que a nossa série original também converge.

Resposta

A série sumk=0^infty e^-k(k+1)2k+3 converge pelo Teste da Comparação.

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