Usando o teste da comparação, estude a série dada com relação a convergência ou divergência
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a série
e queremos saber se ela converge ou diverge usando o Teste da Comparação. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre séries e como comparar termos para avaliar a convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para entender melhor como os termos se comportam quando
fica grande. Observamos o termo geral:
Quando
tende ao infinito, os termos dominantes no numerador e no denominador são
e
, respectivamente. Então, podemos aproximar
por:
Isso nos dá uma ideia de como os termos se comportam para valores grandes de
.
Passo 3
Agora, vamos escolher uma série com a qual possamos comparar. Vimos que
, então vamos comparar nossa série com a série geométrica:
Sabemos que a série geométrica
converge porque a razão
é menor que 1.
Passo 4
Para aplicar o Teste da Comparação, precisamos verificar se existe uma constante
tal que para todo
grande o seguinte é verdadeiro:
No nosso caso:
Simplificando:
Então:
Aqui, podemos escolher
.
Passo 5
Como a série
converge e
para todo
grande, pelo Teste da Comparação concluímos que a nossa série original também converge.
Resposta
A série
converge pelo Teste da Comparação.