AVALIAÇÃO II
- (3.0 pontos) Considerando a função periódica de período
Determine:
b) a série de Fourier.
b) a série de Fourier.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma função periódica de período
, dada por
e precisa encontrar a série de Fourier dessa função. A matéria aqui é sobre séries de Fourier, que servem para representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar calcular os coeficientes de Fourier que vão compor essa série.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função
é par, ímpar ou nenhuma das duas. Isso é importante porque simplifica a nossa série de Fourier.
Uma função é par se
e ímpar se
.
Vamos testar:
Como
, a função é par.
Passo 3
Como a função é par, sabemos que a série de Fourier dela será composta apenas por cossenos. Ou seja, a série terá a seguinte forma:
Onde:
-
é o termo constante. -
são os coeficientes dos cossenos.
Passo 4
Vamos calcular o coeficiente
. A fórmula para
é:
Como
é par, podemos simplificar a integral:
Agora, vamos resolver essa integral por partes.
Passo 5
Para resolver a integral
, usamos a integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula:
Temos:
Passo 6
Voltando ao cálculo de
:
Substituindo os limites:
Sabemos que
,
e
:
Passo 7
Agora, vamos calcular os coeficientes
:
Como
é par e
também é par, a integral de
a
é o dobro da integral de
a
:
Essa integral pode ser resolvida utilizando identidades trigonométricas ou integração por partes múltiplas, mas vamos simplificar aqui para manter a explicação clara.
Passo 8
Após realizar os cálculos (que envolvem integração por partes e aplicação de identidades trigonométricas), encontramos que os coeficientes
são:
Isso significa que para cada
, o coeficiente
é dado por essa fórmula.
Resposta
Portanto, a série de Fourier da função
é: