Uma avaliação de múltipla escolha de Estatística, com valor de 10 pontos, tem 10 questões, cada uma valendo 1,0 ponto, cada uma com 5 alternativas das quais somente uma está correta. Considere que um determinado aluno responde a esmo (“no chute”) as questões. Determine a probabilidade desse aluno:
a) obter nota máxima na prova.
0,0000001024
b) obter no mínimo
dos pontos da prova.
0,00637
a) obter nota máxima na prova.
b) obter no mínimo
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as probabilidades indicadas:
- Há
questões, cada uma valendo ponto. - Cada questão tem
alternativas, sendo apenas correta. - O aluno responde “no chute”, ou seja, escolhe uma alternativa aleatoriamente e independentemente para cada questão.
- Perguntas pedidas:
- Qual a probabilidade de o aluno obter nota máxima na prova (acertar todas as
questões)? - Qual a probabilidade de o aluno obter no mínimo
dos pontos da prova (ou seja, pelo menos acertos)?
- Qual a probabilidade de o aluno obter nota máxima na prova (acertar todas as
Passo 2
Modelagem e fórmula necessária — vamos aprender o que usar.
Quando fazemos várias tentativas independentes com duas possibilidades (acerta/erra) e mesma probabilidade de sucesso em cada tentativa, usamos a distribuição binomial. Definimos:
Quando fazemos várias tentativas independentes com duas possibilidades (acerta/erra) e mesma probabilidade de sucesso em cada tentativa, usamos a distribuição binomial. Definimos:
-
: número de tentativas (aqui ). -
: probabilidade de sucesso em cada tentativa (aqui , pois só uma das cinco alternativas é correta). -
: número de acertos entre as questões.
A fórmula da probabilidade binomial é
onde
é o número de maneiras de escolher
acertos entre
questões. Explicando
:
e
(fatorial) significa
.
Exemplo rápido: . (Isso evita calcular
completo: cancele termos.)
Exemplo rápido:
Passo 3
Parte (a): probabilidade de nota máxima (acertar todas as
).
Aqui . Aplicando a fórmula:
Aqui
-
. -
. -
.
Portanto
Calculando potências sucessivas:
,
,
,
,
.
Também podemos ver , que em decimal é
.
Também podemos ver
Passo 4
Parte (b): probabilidade de obter no mínimo
dos pontos, isto é, pelo menos
acertos.
Temos que calcular
Temos que calcular
Vamos calcular cada termo separadamente (usando
).
-
Para
: , , .
Produto: -
Para
: , , .
Produto: -
Para
: , , .
Produto: -
Para
: , , .
Produto: -
Para
: , , .
Produto:
Agora somamos todos os termos:
Arredondando para cinco casas significativas, obtemos
. (Em provas às vezes pedem arredondamento; aqui fica explícito o valor exato calculado e o arredondado.)
Passo 5
Interpretação curta e ânimo: o chute aleatório tem probabilidade muito pequena de acertar tudo (
) e também pequena de tirar pelo menos
(
). Isso mostra como chute puro é arriscado — mas você já está fazendo a coisa certa pedindo a resolução passo a passo, siga assim!
Resposta
a)
b)
b)