Uma avaliação de múltipla escolha de Estatística, com valor de 10 pontos, tem 10 questões, cada uma valendo 1,0 ponto, cada uma com 5 alternativas das quais somente uma está correta. Considere que um determinado aluno responde a esmo (“no chute”) as questões. Determine a probabilidade desse aluno:
a) obter nota máxima na prova.
0,0000001024
b) obter no mínimo 60 \% dos pontos da prova.
0,00637

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as probabilidades indicadas:
  • 10 questões, cada uma valendo 1,0 ponto.
  • Cada questão tem 5 alternativas, sendo apenas 1 correta.
  • O aluno responde “no chute”, ou seja, escolhe uma alternativa aleatoriamente e independentemente para cada questão.
  • Perguntas pedidas:
    1. Qual a probabilidade de o aluno obter nota máxima na prova (acertar todas as 10 questões)?
    2. Qual a probabilidade de o aluno obter no mínimo 60\% dos pontos da prova (ou seja, pelo menos 6 acertos)?

Passo 2

Modelagem e fórmula necessária — vamos aprender o que usar.
Quando fazemos várias tentativas independentes com duas possibilidades (acerta/erra) e mesma probabilidade de sucesso em cada tentativa, usamos a distribuição binomial. Definimos:
  • n: número de tentativas (aqui n=10).
  • p: probabilidade de sucesso em cada tentativa (aqui p=\dfrac{1}{5}=0,2, pois só uma das cinco alternativas é correta).
  • X: número de acertos entre as n questões.
A fórmula da probabilidade binomial é
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k},
onde \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher k acertos entre n questões. Explicando \binom{n}{k}:
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
e n! (fatorial) significa n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1.
Exemplo rápido: \binom{10}{6}=\dfrac{10!}{6!4!}=210. (Isso evita calcular 10! completo: cancele termos.)

Passo 3

Parte (a): probabilidade de nota máxima (acertar todas as 10).
Aqui k=10. Aplicando a fórmula:
  • \binom{10}{10}=1.
  • p^{10}=(0,2)^{10}.
  • (1-p)^{0}=1.
Portanto
P(X=10)=1\cdot(0,2)^{10}=(0,2)^{10}.
Calculando potências sucessivas: (0,2)^2=0,04, (0,2)^3=0,008, (0,2)^4=0,0016, (0,2)^5=0,00032, (0,2)^{10}=(0,2^5)^2=(0,00032)^2=0,0000001024.
Também podemos ver (0,2)^{10}=(\tfrac{1}{5})^{10}=\dfrac{1}{5^{10}}=\dfrac{1}{9765625}, que em decimal é 0,0000001024.

Passo 4

Parte (b): probabilidade de obter no mínimo 60\% dos pontos, isto é, pelo menos 6 acertos.
Temos que calcular
P(X\ge 6)=\sum_{k=6}^{10} \binom{10}{k} (0,2)^k (0,8)^{10-k}.
Vamos calcular cada termo separadamente (usando q=1-p=0,8).
  1. Para k=6: \binom{10}{6}=210, (0,2)^6=0,000064, (0,8)^4=0,4096.
    Produto: 210\cdot 0,000064\cdot 0,4096 = 0,005505024.
  2. Para k=7: \binom{10}{7}=120, (0,2)^7=0,0000128, (0,8)^3=0,512.
    Produto: 120\cdot 0,0000128\cdot 0,512 = 0,000786432.
  3. Para k=8: \binom{10}{8}=45, (0,2)^8=0,00000256, (0,8)^2=0,64.
    Produto: 45\cdot 0,00000256\cdot 0,64 = 0,000073728.
  4. Para k=9: \binom{10}{9}=10, (0,2)^9=0,000000512, (0,8)^1=0,8.
    Produto: 10\cdot 0,000000512\cdot 0,8 = 0,000004096.
  5. Para k=10: \binom{10}{10}=1, (0,2)^{10}=0,0000001024, (0,8)^0=1.
    Produto: 1\cdot 0,0000001024\cdot 1 = 0,0000001024.
Agora somamos todos os termos:
P(X\ge6)=0,005505024+0,000786432+0,000073728+0,000004096+0,0000001024=0,0063693824.
Arredondando para cinco casas significativas, obtemos 0,00637. (Em provas às vezes pedem arredondamento; aqui fica explícito o valor exato calculado e o arredondado.)

Passo 5

Interpretação curta e ânimo: o chute aleatório tem probabilidade muito pequena de acertar tudo ( \sim 10^{-7}) e também pequena de tirar pelo menos 60\% ( \sim 0,6\%). Isso mostra como chute puro é arriscado — mas você já está fazendo a coisa certa pedindo a resolução passo a passo, siga assim!

Resposta

a) 0,0000001024
b) 0,00637

Exercícios relacionados