Por engano 3 peças defeituosas foram misturadas com boas formando um lote com 12 peças no total.
Escolhendo ao acaso 4 dessas peças, sem reposição, determine a probabilidade de encontrar:
no máximo 2 defeituosas.
Escolhendo ao acaso 4 dessas peças, sem reposição, determine a probabilidade de encontrar:
no máximo 2 defeituosas.
Passo 1
O enunciado diz que temos um lote com
peças, das quais
são defeituosas e
são boas. Escolhemos ao acaso
peças sem reposição.
A pergunta é: qual é a probabilidade de encontrar, ao escolher essas peças, no máximo
defeituosas? (Ou seja,
,
ou
defeituosas.)
A pergunta é: qual é a probabilidade de encontrar, ao escolher essas
Passo 2
Ideia geral (contagem de casos igualmente prováveis): como a escolha é aleatória sem reposição e cada subconjunto de
peças é igualmente provável, calculamos a probabilidade dividindo o número de escolhas favoráveis pelo número total de escolhas possíveis.
O número total de maneiras de escolher peças entre
é dado pelo coeficiente binomial
O número total de maneiras de escolher
Esse será o denominador das nossas probabilidades.
Passo 3
Fórmula para “exatamente
defeituosas”: para ter exatamente
defeituosas nas
escolhidas, escolhemos
das
defeituosas e os
restantes das
boas. O número de escolhas favoráveis é
portanto
Vou calcular para
(pois queremos "no máximo
").
Passo 4
Calcular
:
Logo
Simplificando dividindo numerador e denominador por
:
Passo 5
Calcular
:
Logo
Simplificando por
:
Passo 6
Calcular
:
Logo
Simplificando por
:
Passo 7
Somar as probabilidades de
,
e
defeituosas:
Como decimal aproximado (para ter uma ideia):
Passo 8
Verificação — método por complemento (mais curto): o máximo de defeituosas que posso pegar é
(não há
defeituosas no lote). Então
Calcule
Logo , que confirma o resultado anterior. Boa checagem!
Logo