Por engano 3 peças defeituosas foram misturadas com boas formando um lote com 12 peças no total.
Escolhendo ao acaso 4 dessas peças, sem reposição, determine a probabilidade de encontrar:
no máximo 2 defeituosas.

Passo 1

O enunciado diz que temos um lote com 12 peças, das quais 3 são defeituosas e 9 são boas. Escolhemos ao acaso 4 peças sem reposição.
A pergunta é: qual é a probabilidade de encontrar, ao escolher essas 4 peças, no máximo 2 defeituosas? (Ou seja, 0, 1 ou 2 defeituosas.)

Passo 2

Ideia geral (contagem de casos igualmente prováveis): como a escolha é aleatória sem reposição e cada subconjunto de 4 peças é igualmente provável, calculamos a probabilidade dividindo o número de escolhas favoráveis pelo número total de escolhas possíveis.
O número total de maneiras de escolher 4 peças entre 12 é dado pelo coeficiente binomial
\binom{12}{4}=\frac{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=495.
Esse será o denominador das nossas probabilidades.

Passo 3

Fórmula para “exatamente k defeituosas”: para ter exatamente k defeituosas nas 4 escolhidas, escolhemos k das 3 defeituosas e os 4-k restantes das 9 boas. O número de escolhas favoráveis é
\binom{3}{k}\binom{9}{4-k},
portanto
P(\text{exatamente }k)=\frac{\binom{3}{k}\binom{9}{4-k}}{\binom{12}{4}}.
Vou calcular para k=0,1,2 (pois queremos "no máximo 2").

Passo 4

Calcular P(\text{0 defeituosas}):
\binom{3}{0}\binom{9}{4}=1\cdot\binom{9}{4}=1\cdot 126=126.
Logo
P(0)=\frac{126}{495}.
Simplificando dividindo numerador e denominador por 9:
P(0)=\frac{14}{55}.

Passo 5

Calcular P(\text{1 defeituosa}):
\binom{3}{1}\binom{9}{3}=3\cdot\binom{9}{3}=3\cdot 84=252.
Logo
P(1)=\frac{252}{495}.
Simplificando por 9:
P(1)=\frac{28}{55}.

Passo 6

Calcular P(\text{2 defeituosas}):
\binom{3}{2}\binom{9}{2}=3\cdot\binom{9}{2}=3\cdot 36=108.
Logo
P(2)=\frac{108}{495}.
Simplificando por 9:
P(2)=\frac{12}{55}.

Passo 7

Somar as probabilidades de 0, 1 e 2 defeituosas:
P(\text{no máximo }2)=P(0)+P(1)+P(2)=\frac{14}{55}+\frac{28}{55}+\frac{12}{55}=\frac{54}{55}.á
Como decimal aproximado (para ter uma ideia):
\frac{54}{55}\approx 0,9818.

Passo 8

Verificação — método por complemento (mais curto): o máximo de defeituosas que posso pegar é 3 (não há 4 defeituosas no lote). Então
P(\text{no máximo }2)=1-P(\text{exatamente }3).á
Calcule P(\text{exatamente }3)=\dfrac{\binom{3}{3}\binom{9}{1}}{\binom{12}{4}}=\dfrac{1\cdot 9}{495}=\dfrac{9}{495}=\dfrac{1}{55}.
Logo 1-\dfrac{1}{55}=\dfrac{54}{55}, que confirma o resultado anterior. Boa checagem!

Resposta

\dfrac{54}{55}
\approx 0,9818

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