A temperatura em um ponto (x, y) de uma placa de metal plana e e T(x, y)=Ax^2+By^2 graus. As curvas da forma T(x, y)=K, K in R são chamadas de isotermas de T (isto é, as curvas onde a temperatura é constante). A fim de que que (2,0) e (0,-3) sejam pontos da isoterma T(x, y)=36, devemos ter:
a) A=19 e B=14;
b) A=4 e B=9;
c) A=14 e B=19;
d) A=9 e B=4;
e) A=raiz34 e B=raiz29

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a temperatura em uma placa metálica plana, dada pela função $ T(x, y) = Ax^{2} + By^{2} $. As curvas onde a temperatura é constante são chamadas de isotermas. A gente precisa encontrar os valores de $ A $ e $ B $ para que os pontos $ (2,0) $ e $ (0,-3) $ estejam na isoterma $ T(x, y) = 36 $. Para resolver isso, vamos usar a ideia de substituir as coordenadas dos pontos na equação da temperatura e igualar a 36.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma isoterma. Isotermas são curvas onde a temperatura não muda, ou seja, todos os pontos na curva têm a mesma temperatura. No caso, a temperatura é 36 graus. Então, qualquer ponto $ (x, y) $ que esteja nessa isoterma deve satisfazer a equação $ Ax^{2} + By^{2} = 36 $.

Passo 3

Vamos usar o primeiro ponto $ (2,0) $. Substituindo $ x = 2 $ e $ y = 0 $ na equação da temperatura:
(2,0)
Então, descobrimos que $ A = 9 $.

Passo 4

Agora, vamos usar o segundo ponto $ (0,-3) $. Substituindo $ x = 0 $ e $ y = -3 $ na equação da temperatura:
(0,-3)
Assim, encontramos que $ B = 4 $.

Resposta

A alternativa d) $ A = 9 $ e $ B = 4 $ está correta.

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