Uma parametrização para a curva
é dada por:
a)
;
b)
;
c)
;
d)
;
e)
.
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma curva $ C $ definida por $ x^{2} + y^{2} = 4 $ com a condição que $ x \geq 0 $. Isso representa um círculo de raio 2 centrado na origem, mas só a parte onde $ x $ é maior ou igual a zero, ou seja, a semicircunferência direita. A questão apresenta várias parametrizações possíveis e a gente precisa descobrir qual delas descreve essa semicircunferência correta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma parametrização. Basicamente, é uma maneira de descrever uma curva usando uma variável, geralmente $ t $, que varia dentro de um intervalo. No caso de um círculo, usamos funções trigonométricas como seno e cosseno para representar as coordenadas $ x $ e $ y $.
Passo 3
A equação geral de parametrização para um círculo de raio $ r $ é $ \vec{r}(t) = (r \cos t, r \sin t) $. Aqui, $ t $ é o parâmetro que varia de $ 0 $ a $ 2\pi $ para cobrir todo o círculo. No nosso caso, o raio é 2, então a parametrização fica $ \vec{r}(t) = (2 \cos t, 2 \sin t) $.
Passo 4
Agora, como a nossa curva é apenas a parte do círculo onde $ x \geq 0 $, precisamos escolher o intervalo de $ t $ que faz o $ \cos t $ ser positivo ou zero, já que $ x = 2 \cos t $. O cosseno é positivo quando $ t $ está entre $ -\frac{\pi}{2} $ e $ \frac{\pi}{2} $. Vamos verificar as opções:
- a) $ \vec{r}(t) = (2 \cos t, 2 \sin t), -\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2} $ — Aqui, $ \cos t $ é positivo, perfeito para $ x \geq 0 $.
- b) $ \vec{r}(t) = (4 \cos t, 4 \sin t), -\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2} $ — O raio está errado, deveria ser 2, não 4.
- c) $ \vec{r}(t) = (2 \cos t, 2 \sin t), \frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{3\pi}{2} $ — Aqui, $ \cos t $ é negativo, então $ x $ seria negativo.
- d) $ \vec{r}(t) = (4 \cos t, 4 \sin t), \frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{3\pi}{2} $ — Além do raio errado, $ \cos t $ é negativo.
- e) $ \vec{r}(t) = (2 \cos t, 2 \sin t), -\frac{3\pi}{2} \leq t \leq -\frac{\pi}{2} $ — Novamente, $ \cos t $ é negativo nesse intervalo.
Resposta
A parametrização correta é a opção a):