Uma parametrização para a curva
C=(x, y) in R^2 ; x^2+y^2=4, x >= 0
é dada por:
a) r(t)=(2 cos t, 2 sen t),-pi2 <= t <= pi2;
b) r(t)=(4 cos t, 4 sen t),-pi2 <= t <= pi2;
c) r(t)=(2 cos t, 2 sen t), pi2 <= t <= 3 pi2;
d) r(t)=(4 cos t, 4 sen t), pi2 <= t <= 3 pi2;
e) r(t)=(2 cos t, 2 sen t),-3 pi2 <= t <=-pi2.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma curva $ C $ definida por $ x^{2} + y^{2} = 4 $ com a condição que $ x \geq 0 $. Isso representa um círculo de raio 2 centrado na origem, mas só a parte onde $ x $ é maior ou igual a zero, ou seja, a semicircunferência direita. A questão apresenta várias parametrizações possíveis e a gente precisa descobrir qual delas descreve essa semicircunferência correta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma parametrização. Basicamente, é uma maneira de descrever uma curva usando uma variável, geralmente $ t $, que varia dentro de um intervalo. No caso de um círculo, usamos funções trigonométricas como seno e cosseno para representar as coordenadas $ x $ e $ y $.

Passo 3

A equação geral de parametrização para um círculo de raio $ r $ é $ \vec{r}(t) = (r \cos t, r \sin t) $. Aqui, $ t $ é o parâmetro que varia de $ 0 $ a $ 2\pi $ para cobrir todo o círculo. No nosso caso, o raio é 2, então a parametrização fica $ \vec{r}(t) = (2 \cos t, 2 \sin t) $.

Passo 4

Agora, como a nossa curva é apenas a parte do círculo onde $ x \geq 0 $, precisamos escolher o intervalo de $ t $ que faz o $ \cos t $ ser positivo ou zero, já que $ x = 2 \cos t $. O cosseno é positivo quando $ t $ está entre $ -\frac{\pi}{2} $ e $ \frac{\pi}{2} $. Vamos verificar as opções:
  • a) $ \vec{r}(t) = (2 \cos t, 2 \sin t), -\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2} $ — Aqui, $ \cos t $ é positivo, perfeito para $ x \geq 0 $.
  • b) $ \vec{r}(t) = (4 \cos t, 4 \sin t), -\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2} $ — O raio está errado, deveria ser 2, não 4.
  • c) $ \vec{r}(t) = (2 \cos t, 2 \sin t), \frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{3\pi}{2} $ — Aqui, $ \cos t $ é negativo, então $ x $ seria negativo.
  • d) $ \vec{r}(t) = (4 \cos t, 4 \sin t), \frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{3\pi}{2} $ — Além do raio errado, $ \cos t $ é negativo.
  • e) $ \vec{r}(t) = (2 \cos t, 2 \sin t), -\frac{3\pi}{2} \leq t \leq -\frac{\pi}{2} $ — Novamente, $ \cos t $ é negativo nesse intervalo.

Resposta

A parametrização correta é a opção a):
r(t) = (2 cos t, 2 sin t), -pi2 <= t <= pi2

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