Avaliaçāo 1^a Unidade - (2020.1)
Instruçöes:
  1. A interpretação faz parte da avaliação;
  2. O tempo de resoluçâo e entrega da prova é de 02 horas e 10 min ;
  3. Todas as questöes devem possuir respostas justificadas;
  4. Utilize caneta preta ou azul;
  5. Soluçâo ilegivel será considerada como errada;
    Suponha que o potencial numa lâmina plana é dado por:
V(x, y)=80-20 x e^-x^4+y20 em vo
em que direçâo, a partir da origem, o potencial aumenta e diminui?

Passo 1

O enunciado dá o potencial numa lâmina plana como V(x,y)=80-20,x,e^-x^4+y20 em volts e pede em que direção, a partir da origem, o potencial aumenta mais rápido e em que direção diminui. O conteúdo envolvido é gradiente e derivada direcional de um campo escalar.

Passo 2

Para encontrar a direção de maior variação do potencial, vamos calcular o gradiente nabla V=(partial V/partial x,partial V/partial y). Primeiro, definimos F(x,y)=x,e^-x^4+y20, de modo que V=80-20F.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Vpartial x=-20partial Fpartial x=-20l(e^-x^4+y20+x,e^-x^4+y20l(-4x^320r)r)=e^-x^4+y20(4x^4-20)
partial Vpartial y=-20partial Fpartial y=-20l(x,e^-x^4+y20l(-120r)r)=x,e^-x^4+y20

Passo 4

Avaliando as parciais na origem (0,0):
partial Vpartial x(0,0)=e^0(0-20)=-20,
partial Vpartial y(0,0)=0times e^0=0
Logo nabla V(0,0)=(-20,0), que aponta para o eixo x negativo.

Passo 5

A direção de maior aumento do potencial é na direção do gradiente, isto é, ao longo do eixo x negativo. A direção de maior diminuição é o oposto do gradiente, ou seja, ao longo do eixo x positivo.

Resposta

O potencial aumenta mais rápido movendo-se no sentido negativo de x (direção (-1,0)) e diminui mais rápido no sentido positivo de x (direção (1,0)).

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