Seja A o domínio da função f, definida por f(x, y)=raizxy. Podemos afirmar que:
a) A é constituído da união dos quadrantes pares;
b) A reta x=y está contida em A;
c) A é constituído da união do primeiro e segundo quadrantes;
d) A reta y=-x está contida em A;
e) A é constituido apenas do primeiro quadrante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que descobrir qual das alternativas está correta sobre o domínio da função $ f(x, y) = \sqrt{xy} $. O conteúdo aqui envolve entender domínio de funções e restrições de expressões matemáticas. Para resolver isso, precisamos saber quando a expressão dentro da raiz quadrada é válida, ou seja, quando $ xy $ é maior ou igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a raiz quadrada só está definida para números não negativos. Então, para $ \sqrt{xy} $ fazer sentido, $ xy $ precisa ser maior ou igual a zero. Isso nos dá a condição:
raizxy

Passo 3

Agora, vamos analisar quando essa condição é verdadeira. O produto $ xy $ é positivo quando:
  1. Ambos $ x $ e $ y $ são positivos.
  2. Ambos $ x $ e $ y $ são negativos.
Se um for positivo e o outro negativo, o produto será negativo, o que não satisfaz nossa condição.

Passo 4

Visualizando isso no plano cartesiano:
  • Primeiro Quadrante (QI): $ x > 0 $ e $ y > 0 $ — aqui, $ xy > 0 $.
  • Terceiro Quadrante (QIII): $ x < 0 $ e $ y < 0 $ — aqui, $ xy > 0 $.
Portanto, o domínio $ A $ é a união dos primeiro e terceiro quadrantes.

Passo 5

Agora, vamos analisar as alternativas:
a) União dos quadrantes pares: Quadrantes pares são o segundo (QII) e o quarto (QIV). Mas nesses quadrantes, $ xy < 0 $, então não é essa a resposta correta.
b) A reta $ x = y $ está contida em $ A $: Vamos verificar. Nessa reta, $ y = x $, então $ xy = x^2 $. Como o quadrado de qualquer número é positivo, $ xy \geq 0 $. Portanto, essa reta está sim dentro do domínio $ A $.
c) União do primeiro e segundo quadrantes: No segundo quadrante, $ x < 0 $ e $ y > 0 $, então $ xy < 0 $. Assim, essa alternativa está errada.
d) A reta $ y = -x $ está contida em $ A $: Nessa reta, $ y = -x $, então $ xy = -x^2 $, que é sempre negativo ou zero. Logo, $ \sqrt{xy} $ não está definida aqui.
e) Apenas o primeiro quadrante: Já vimos que o terceiro quadrante também faz parte do domínio, então essa alternativa está incorreta.

Resposta

A alternativa correta é a letra b): A reta $ x = y $ está contida em $ A $.

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