Avaliaçāo 1^a Unidade - (2020.1)
Instruçöes:
  1. A interpretação faz parte da avaliação;
  2. O tempo de resoluçâo e entrega da prova é de 02 horas e 10 min ;
  3. Todas as questöes devem possuir respostas justificadas;
  4. Utilize caneta preta ou azul;
  5. Soluçâo ilegivel será considerada como errada;
    Seja f uma função escalar tal que por um ponto P do espaço, passa uma superfície de nível S de f. Mostre que se gradf é diferente de zero em P, então gradf é normal a S em P.

Passo 1

A questão pede para mostrar que, dada uma superfície de nível S definida por f(x,y,z)=c passando por P e com ∇f§≠0, o vetor ∇f§ é normal a S em P. O conteúdo envolve definição de superfície de nível, vetor tangente e derivada direcional.

Passo 2

Definimos a superfície de nível S como
S=(x,y,z)inR^3mid f(x,y,z)=c,
onde c=f§. Um vetor v é tangente a S em P se deslocando em v a função f não muda de valor, isto é, a derivada direcional de f ao longo de v em P é zero.

Passo 3

Pela definição de derivada direcional, para qualquer vetor tangente v em P temos
Dvf(P)=limtto0f(P+tv)-f(P)t=0

Passo 4

Por outro lado, a teoria da derivada direcional diz que
Dvf(P)=nabla f(P)cdot v
Como assumimos ∇f§≠0, essa expressão vale para todo vetor tangente v.

Passo 5

Logo, para qualquer v tangente a S em P obtemos
nabla f(P)cdot v=0,
o que significa que ∇f§ é ortogonal a todos os vetores tangentes a S em P. Portanto, ∇f§ é normal a S em P.

Resposta

Como ∇f§·v=0 para todo vetor v tangente a S em P, ∇f§ é ortogonal ao plano tangente e, logo, normal à superfície de nível S em P.

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