Avaliaçāo
Unidade - (2020.1)
Instruçöes:
- A interpretação faz parte da avaliação;
- O tempo de resoluçâo e entrega da prova é de 02 horas e 10 min ;
- Todas as questöes devem possuir respostas justificadas;
- Utilize caneta preta ou azul;
- Soluçâo ilegivel será considerada como errada;
Seja f uma função escalar tal que por um ponto P do espaço, passa uma superfície de nível S de f. Mostre que se gradf é diferente de zero em P, então gradf é normal a
em
.
Instruçöes:
Seja f uma função escalar tal que por um ponto P do espaço, passa uma superfície de nível S de f. Mostre que se gradf é diferente de zero em P, então gradf é normal a
Passo 1
A questão pede para mostrar que, dada uma superfície de nível S definida por f(x,y,z)=c passando por P e com ∇f§≠0, o vetor ∇f§ é normal a S em P. O conteúdo envolve definição de superfície de nível, vetor tangente e derivada direcional.
Passo 2
Definimos a superfície de nível S como
onde c=f§. Um vetor v é tangente a S em P se deslocando em v a função f não muda de valor, isto é, a derivada direcional de f ao longo de v em P é zero.
Passo 3
Pela definição de derivada direcional, para qualquer vetor tangente v em P temos
Passo 4
Por outro lado, a teoria da derivada direcional diz que
Como assumimos ∇f§≠0, essa expressão vale para todo vetor tangente v.
Passo 5
Logo, para qualquer v tangente a S em P obtemos
o que significa que ∇f§ é ortogonal a todos os vetores tangentes a S em P. Portanto, ∇f§ é normal a S em P.
Resposta
Como ∇f§·v=0 para todo vetor v tangente a S em P, ∇f§ é ortogonal ao plano tangente e, logo, normal à superfície de nível S em P.