Determine a equação geral e esboce o gráfico da cônica dada. Inclua no esboço informações relevantes como o(s) foco(s), o vértice ou centro, o(s) eixo(s) e a reta diretriz no caso da parábola.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a equação geral e fazer um esboço do gráfico da cônica que foi dada. A equação que temos é
. Para isso, vamos usar conceitos de parábolas, que fazem parte do estudo das cônicas na matemática. Vamos precisar identificar o vértice, o foco, o eixo de simetria e a reta diretriz dessa parábola.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo de cônica que temos. A equação está na forma
, que é a forma padrão da parábola com o eixo de simetria paralelo ao eixo y. Comparando com a nossa equação:
- $ h = 3 $
- $ k = 1 $
- $ 4p = 4 $ então $ p = 1 $
Passo 3
Agora, vamos identificar os elementos importantes da parábola:
- Vértice: é o ponto
. - Foco: fica a uma distância $ p $ acima do vértice (já que $ p > 0 $), então $ (3, 1 + 1) = (3, 2) $.
- Reta diretriz: é a linha horizontal que está a uma distância $ p $ abaixo do vértice, ou seja, $ y = 1 - 1 = 0 $.
- Eixo de simetria: é a linha que passa pelo vértice e foco, no caso, a reta $ x = 3 $.
Passo 4
Vamos encontrar a equação geral da parábola. Para isso, vamos expandir a equação dada:
Expandindo o lado esquerdo:
Agora, vamos organizar todos os termos na mesma igualdade:
Simplificando:
Então, a equação geral da parábola é:
Passo 5
Vamos fazer um esboço do gráfico da parábola com as informações que encontramos:
- Vértice em
. - Foco em
. - Reta diretriz na linha $ y = 0 $.
- Eixo de simetria na reta $ x = 3 $.
Como a parábola abre para cima (porque o coeficiente de $ y $ é positivo), ela vai se abrir na direção do foco. No esboço, você desenha o vértice, coloca o foco acima dele, desenha o eixo de simetria vertical e a reta diretriz abaixo. A parábola vai curvar-se abrindo em direção ao foco.
Resposta
A equação geral da cônica é $ x^2 - 6x - 4y + 13 = 0 $. O gráfico é uma parábola com vértice em
, foco em
, eixo de simetria na reta $ x = 3 $ e reta diretriz em $ y = 0 $. A parábola abre para cima.