Determine a equação geral e esboce o gráfico da cônica dada. Inclua no esboço informações relevantes como o(s) foco(s), o vértice ou centro, o(s) eixo(s) e a reta diretriz no caso da parábola.
(x-3)^2=4(y-1);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a equação geral e fazer um esboço do gráfico da cônica que foi dada. A equação que temos é (x-3)^2=4(y-1). Para isso, vamos usar conceitos de parábolas, que fazem parte do estudo das cônicas na matemática. Vamos precisar identificar o vértice, o foco, o eixo de simetria e a reta diretriz dessa parábola.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de cônica que temos. A equação está na forma (x-h)^2=4p(y-k), que é a forma padrão da parábola com o eixo de simetria paralelo ao eixo y. Comparando com a nossa equação:
  • $ h = 3 $
  • $ k = 1 $
  • $ 4p = 4 $ então $ p = 1 $

Passo 3

Agora, vamos identificar os elementos importantes da parábola:
  • Vértice: é o ponto (h, k) = (3, 1).
  • Foco: fica a uma distância $ p $ acima do vértice (já que $ p > 0 $), então $ (3, 1 + 1) = (3, 2) $.
  • Reta diretriz: é a linha horizontal que está a uma distância $ p $ abaixo do vértice, ou seja, $ y = 1 - 1 = 0 $.
  • Eixo de simetria: é a linha que passa pelo vértice e foco, no caso, a reta $ x = 3 $.

Passo 4

Vamos encontrar a equação geral da parábola. Para isso, vamos expandir a equação dada:
(x - 3)^2 = 4(y - 1)
Expandindo o lado esquerdo:
x^2 - 6x + 9 = 4y - 4
Agora, vamos organizar todos os termos na mesma igualdade:
x^2 - 6x + 9 - 4y + 4 = 0
Simplificando:
x^2 - 6x - 4y + 13 = 0
Então, a equação geral da parábola é:
x^2 - 6x - 4y + 13 = 0

Passo 5

Vamos fazer um esboço do gráfico da parábola com as informações que encontramos:
  1. Vértice em (3, 1).
  2. Foco em (3, 2).
  3. Reta diretriz na linha $ y = 0 $.
  4. Eixo de simetria na reta $ x = 3 $.
Como a parábola abre para cima (porque o coeficiente de $ y $ é positivo), ela vai se abrir na direção do foco. No esboço, você desenha o vértice, coloca o foco acima dele, desenha o eixo de simetria vertical e a reta diretriz abaixo. A parábola vai curvar-se abrindo em direção ao foco.

Resposta

A equação geral da cônica é $ x^2 - 6x - 4y + 13 = 0 $. O gráfico é uma parábola com vértice em x^2 - 6x - 4y + 13 = 0 , foco em (3, 1), eixo de simetria na reta $ x = 3 $ e reta diretriz em $ y = 0 $. A parábola abre para cima.

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